Permutationer är en del av räkneproblem. Vi använder permutationer för att veta antalet ordningsföljder av elementen i en uppsättning. Öva dina kunskaper om permutation och lös dina tvivel med de lösta övningarna.
Övning 1
Två vänner lekte med sexsidiga tärningar. Det är känt att nummer 4, 1, 2 och 5 kom ut, inte nödvändigtvis i den ordningen. Hur många resultatsekvenser kan det ha varit?
Svar: 24
Viss ordning av resultat kan vara:
1, 2, 4 och 5 eller
5, 4, 5 och 1 eller
4, 5, 1 och 2
För att bestämma det totala antalet möjliga beställningar, beräknar vi en permutation med fyra distinkta element.
Övning 2
En grupp på sex vänner gick för att se en film på bio och köpte sina biljetter till samma stolsrad. Med tanke på att det är ett par och de satt i grannstolar, på hur många sätt kunde dessa vänner passa i stolsraden?
Svar: 240
Eftersom alla delar av "vänner"-uppsättningen beaktas i beräkningen är det ett permutationsproblem.
För att beräkna det totala möjliga antalet permutationer tog vi hänsyn till 5 element, eftersom paret alltid måste vara tillsammans.
Av dessa 120 möjligheter måste vi dessutom multiplicera med två, eftersom paret kan byta plats med varandra.
Således är antalet möjliga sätt för vänner att organisera sig i stolsraden:
120. 2 = 240
Övning 3
En klass på 7 elever leker på gården och utnyttjar sin raster. När eleverna hör signalen som informerar om återgången till klassrummen, flyttar de sig för att bilda en linje. På hur många olika sätt kan eleverna bilda kösekvensen?
Svar: 5040
Det totala antalet möjliga sätt att organisera kön är en permutation av 7 distinkta element.
Övning 4
En fotograf justerar sin kamera för att fotografera 5 barn ordnade på en bänk. I denna grupp finns 3 flickor och 2 killar. Ett möjligt arrangemang av barnen för bilden skulle vara:
Med tanke på de positioner där barn kan sitta på bänken, på hur många sätt kan fotografen organisera pojkarna och flickorna och få olika bilder?
Svar: 10
Detta är ett fall av permutation med upprepade element. Vi måste dela det totala antalet permutationer med produkten mellan permutationerna av de element som upprepas.
Övning 5
Hur många anagram kan göras med bokstäverna i ordet PREFEITURA?
Svar: 907 200
Ordet RADSHUS har 10 bokstäver, varav några upprepas. Bokstaven E visas två gånger, liksom R.
Vi beräknar divisionen mellan permutationen av 10 element och dividerar med produkten av permutationerna av upprepade element.
Övning 6
(UEMG 2019) Från uppsättningen av alla permutationer av bokstäverna i ordet PONTA tas en bort slumpmässigt. Vad är sannolikheten för att ta bort ett ord som börjar och slutar med en vokal?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Steg 1: antal av alla permutationer med bokstäverna i ordet PONTA.
Eftersom det finns fem olika bokstäver har vi:
Steg 2: antal permutationer som börjar och slutar med en vokal.
För den första bokstaven finns två vokalalternativ, för den sista bokstaven kommer det bara att finnas 1.
För konsonanter finns det 3! möjligheter.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Steg 3: bestäm sannolikhetskvoten.
Övning 7
(EsPCex 2012) Sannolikheten att få ett tal som är delbart med 2 när man slumpmässigt väljer en av permutationerna för siffrorna 1, 2, 3, 4, 5 är
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Steg 1: totala permutationer.
Eftersom det finns fem distinkta element har vi att antalet permutationer av 5 element är lika med 5 faktoriella.
Steg 2: permutationer av tal som är delbara med två med de fem siffrorna.
För att vara delbar med 2 är villkoret att det är jämnt. Det finns alltså två alternativ för den sista siffran, 2 och 4.
För de övriga positionerna finns det 4! möjligheter.
Steg 3: sannolikhetsberäkning.
Övning 8
(EsFCEx 2022) Låt P vara uppsättningen av permutationer av sekvensen 1, 3, 6, 9, 12 för vilka den första termen skiljer sig från 1. Om en av dessa sekvenser dras slumpmässigt är sannolikheten att den andra termen är 3 lika med p/q, med p, q ∈ IN* och gcd (p, q) = 1. Därför är q – p lika med
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Steg 1: bestäm antalet totalt möjliga fall i provutrymmet.
Från höger till vänster kan det första numret inte vara ett, så det finns fyra möjligheter att ta den första positionen.
Det finns 4 att besätta de andra positionerna! möjligheter.
Permutationerna är:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Steg 2: bestämma möjligheterna att händelsen inträffar, den andra är tre, den första är annorlunda än en.
Permutationerna är:
3.1.3.2.1 = 18
Steg 3: sannolikhetskvot.
Sannolikhetskvoten är:
Med p = 18 och q = 96.
Det finns dock fortfarande villkoret att den största gemensamma delaren mellan p och q är 1, vilket inte förekommer med 18 och 96.
Vi måste förenkla och testa bråk motsvarande 18/96.
Steg 4: förenkling av sannolikhetsfraktionen och bestämning av p och q.
Som gcd (3, 16) = 1, p = 3 och q = 16.
Steg 5: slutsats.
q - p = 16 - 3 = 13
Lära sig mer om permutation.
För fler övningar, se:
Kombinatoriska analysövningar
ASTH, Rafael. Permutationsövningar lösta och förklarade.All Matter, [n.d.]. Tillgänglig i: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Tillgång på:
Se också
- Kombinatorisk analys
- Kombinatoriska analysövningar
- Permutation: enkel och med upprepning
- Arrangemang i matematik: vad det är, hur man räknar, exempel
- 27 Grundläggande matematikövningar
- Kombination i matematik: hur man räknar och exempel
- Sannolikhetsövningar
- Sannolikhet
