O stympad konvolym är utrymmet som upptas av denna runda kropp. Eftersom tvärsnittet av en kon med radie R ger en mindre kon med radie r och en stympad kon, är volymerna av dessa tre fasta ämnen relaterade.
Läs också: Hur man beräknar stammen på en pyramid
Sammanfattning om volymen av den stympade konen
- En kon med radie R skär tvärs på höjden H av basplanet är uppdelad i två geometriska fasta ämnen: en kon med radie r Det är en stamkon.
- Huvudelementen i den stympade konen är höjden H, den minsta basen med radie r och större bas med radie R.
- Volymen av den stympade konen är skillnaden mellan volymen av konen med radie R och volymen av konen med radie r.
- Formeln för volymen av den trunkerade konen är:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Videolektion om volymen på den trunkerade konen
Vilka är elementen i den stympade konen?
Elementen i en stympad kon som bildas av sektionen av en höger kon med radien R är:
- mindre bas – radie cirkel r, erhållen i sektionen av konen med radien R .
- större bas – cirkulär bas av konen med radie R .
- Höjd (h) – avstånd mellan basernas plan.
- Generatris – segment med ändar på omkretsen som avgränsar baserna.
A bilden nedan visar elementen i en stympad kon. Observera att moll- och majorbaserna är parallella.
Trunk of Cone Volume Formula
Låt oss sedan härleda formeln för volymen av en höjdstum H, mindre basradie r och radien för den största basen R .
Tänk på att tvärsnittet av en kon med radien R och höjden H1 producerar två fasta ämnen:
- en blixtkon r och höjd H2 Det är
- en hög stamkon H .
inse det \(H_1=H_2+h\).
Volymen av konen med radie R (som vi kommer att kalla den större konen) kommer att representeras av VR; radiekonens volym r (som vi kommer att kalla den mindre konen), av Vr; och volymen av den trunkerade könen med Vt. Därför:
\(V_R=V_r+V_t\)
Anteckna det:
- \(V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \(V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Observation: VR och Vr är volymer av koner. Klicka på för att granska det här ärendet här.
Så här:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
H2-termen motsvarar höjden på den mindre konen. Genom att relatera konernas höjder med basernas respektive radier kan vi få en formel för stammens volym som endast beror på stammens element (R, r Det är H).
Associerar radien och höjden på den större konen (R och H1 ) med radien och höjden av den mindre konen (r och H2), har vi följande andel:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
Snart, vi kan skriva om trunkvolymen Vt som följer:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Så här, Formeln för volymen av den stympade konen är:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Läs också: Volymformler för olika geometriska fasta ämnen
Hur beräknar man volymen på den stympade konen?
För att beräkna volymen av en stympad kon, ersätt bara måtten på höjden, radien för den mindre basen och radien för den större basen i formeln.
- Exempel: Vad är volymen, i kubikcentimeter, av en stympad kon där radien på den större basen är R = 5 cm, radien för den mindre basen är r = 3 och höjden är h = 2 cm? (Använd π=3 )
Genom att ersätta data i formeln har vi:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
Lösta övningar på volymen av den stympade konen
fråga 1
En kruka har formen av en stympad kon med den största basradien R = 8 cm, den minsta basradien r = 4 och höjden h = 2 cm. Volymen av denna kruka, i cm³, är:
a) 48 pi
b) 64 pi
c) 112 pi
d) 448 pi
e) 1344 pi
Upplösning
Genom att ersätta data i formeln har vi:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Alternativ D
fråga 2
(Enem 2021) En person köpte en mugg för att dricka soppa, som bilden visar.
Det är känt att 1 cm³ = 1 mL och att toppen av muggen är en cirkel med diameter (D) som mäter 10 cm, och basen är en cirkel med diameter (d) som mäter 8 cm.
Dessutom är det känt att höjden (h) på denna mugg mäter 12 cm (avståndet mellan mitten av de övre och nedre cirklarna).
Använd 3 som en approximation för π.
Vad är den här muggens volymetriska kapacitet i milliliter?
a) 216
b) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Upplösning
Muggens form är en stympad kon där toppen är den större basen. Även R=5, r = 4 cm och H = 12. Snart:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
Eftersom 1 cm³ = 1 mL har vi 732 cm³ = 732 mL.
Alternativ C
Källor:
DANTE, L. R. Matematik: sammanhang och applikationer - Gymnasium. 3. ed. Sao Paulo: Attika, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. Nej. Grunderna i elementär matematik, Vol 10: Spatial Geometry - Position and Metric. 7 uppl. Santos: Aktuell, 2013.
Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
