A identitetsmatris är en speciell typ av huvudkontor. Vi känner som identitetsmatris In kvadratmatrisen av ordningen n som har alla termer på diagonalen lika med 1 och termer som inte tillhör huvuddiagonalen lika med 0. Identitetsmatrisen anses vara det neutrala elementet i multiplikation, det vill säga om vi multiplicerar en matris M genom identitetsmatrisen finner vi som ett resultat själva matrisen M.
Se också: Vad är determinanten för en matris?
Sammanfattning om identitetsmatris
Identitetsmatrisen är den kvadratiska matrisen med element på huvuddiagonalen lika med 1 och med de andra elementen lika med 0.
Det finns identitetsmatriser av olika ordning. Vi representerar ordningens identitetsmatris n av I n.
Identitetsmatrisen är det neutrala elementet i matrismultiplikation, det vill säga \(A\cdot I_n=A.\)
Produkten av en kvadratisk matris och dess inversa matris är identitetsmatrisen.
Vad är identitetsmatris?
Identitetsmatrisen är en speciell typ av kvadratisk matris. En kvadratisk matris är känd som en identitetsmatris om den har alla element på huvuddiagonalen lika med 1 och alla andra element lika med 0. Sedan, i varje identitetsmatris:
➝ Identitetsmatristyper
Det finns identitetsmatriser av olika ordning. ordningen n representeras av In. Låt oss se nedan några matriser för andra beställningar.
Beställning 1 identitetsmatris:
\(I_1=\vänster[1\höger]\)
Beställning 2 identitetsmatris:
\(I_2=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Beställning 3 identitetsmatris:
\(I_3=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Beställning 4 identitetsmatris:
\(I_4=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Beställning 5 identitetsmatris:
\(I_5=\left[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Successivt kan vi skriva identitetsmatriser av olika ordning.
Identitetsmatrisegenskaper
Identitetsmatrisen har en viktig egenskap, eftersom den är det neutrala elementet i multiplikationen mellan matriserna. Detta innebär att varje matris multiplicerad med identitetsmatrisen är lika med sig själv. Alltså, givet matrisen M av ordning n,vi har:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
En annan viktig egenskap hos identitetsmatrisen är att produkten av en kvadratisk matris och dess invers matris är identitetsmatrisen. Givet en kvadratisk matris M av ordning n, produkten av M av dess invers ges av:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Läs också: Vad är en triangulär matris?
Multiplikation av identitetsmatrisen
När vi multiplicerar en matris M med ordningens identitetsmatris n, får vi matrisen M som ett resultat. Låt oss nedan se ett exempel på produkten av matrisen M av ordning 2 med identitetsmatrisen av ordning 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) Det är \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Antar att:
\(A\cdot I_n=B\)
Vi har:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Alltså produkten av A by \(I\) det kommer att vara:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Observera att termerna för matris B är identiska med termerna för matris A, det vill säga:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Exempel:
Varelse M Matrisen \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), beräkna produkten mellan matrisen M och matrisen \(I_3\).
Upplösning:
När vi utför multiplikationen har vi:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\end{matris}\höger]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Lösta övningar om identitetsmatris
fråga 1
Det finns en kvadratisk matris av ordning 3 som definieras av \(a_{ij}=1 \) när \(i=j\) Det är \(a_{ij}=0\) Det är när \(i\neq j\). Denna matris är som:
A) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
OCH) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Upplösning:
Alternativ D
När vi analyserar matrisen har vi:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Så matrisen är lika med:
\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
fråga 2
(UEMG) Om den inversa matrisen av \(A=\left[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \left[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), värdet på x är:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Upplösning:
Alternativ A
Genom att multiplicera matriserna inser vi att deras produkt är lika med identitetsmatrisen. När vi beräknar produkten av den andra raden i matrisen med den första kolumnen i dess invers, har vi:
\(3\cdot5+x\cdot\vänster(-3\höger)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brasilien skola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm
