DE modulär ekvation är a ekvation att i den första eller andra medlemmen har villkor i modulen. Modulen, även känd som det absoluta värdet, är kopplad till avståndet som ett tal har till noll. Eftersom vi talar om avstånd är modulens tal alltid positiv. För att lösa modulära ekvationsproblem krävs att moduldefinitionen tillämpas, vi delar vanligtvis ekvationen i två möjliga fall:
när det som finns inuti modulen är positivt och
när det som är inne i modulen är negativt.
Läs också: Vad är skillnaden mellan en funktion och en ekvation?
en riktig siffermodul
För att kunna lösa modulära ekvationsproblem är det nödvändigt att komma ihåg modulodefinitionen. Modulen är alltid densamma som avståndet ett tal måste vara noll, och att representera ett tals modul Nej, använder vi den raka stapeln enligt följande: |Nej|. För att beräkna |Nej|, vi delade in i två fall:
Därför kan vi säga att |Nej| är samma som den egna Nej när det är ett positivt tal eller lika med noll, och i det andra fallet |Nej| är lika med motsatsen till
Nej om det är negativt. Kom ihåg att motsatsen till ett negativt tal alltid är positivt, så |Nej| har alltid ett resultat som är lika med ett positivt tal.Exempel:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Se också: Hur löser man logaritmisk ekvation?
Hur löser jag en modulekvation?
För att hitta lösningen på en modulär ekvation är det nödvändigt att analysera var och en av möjligheterna, det vill säga att dela, alltid i två fall, var och en av modulerna. Förutom att känna till moduldefinitionen, för att lösa modulära ekvationer, det är viktigt att veta hur man löser polynomekvationer.
Exempel 1:
| x - 3 | = 5
För att hitta lösningen på denna ekvation är det viktigt att komma ihåg att det finns två möjliga resultat som gör |Nej| = 5, det är dem, Nej = -5, eftersom | -5 | = 5, och också Nej = 5, eftersom | 5 | = 5. Så med samma idé måste vi:
I → x - 3 = 5 eller
II → x - 3 = -5
Lösa en av ekvationerna separat:
Upplösning I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Upplösning II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Så det finns två lösningar: S = {-2, 8}.
Observera att om x = 8 är ekvationen sann eftersom:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Observera också att om x = -2 är ekvationen också sant:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Exempel 2:
| 2x + 3 | = 5
Som i exempel 1 är det nödvändigt att dela upp den i två fall för att hitta lösningen, enligt moduldefinitionen.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Upplösning I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Upplösning II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Sedan uppsättning av lösningar är: S = {1, -4}.
Exempel 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
När vi har likheten mellan två moduler måste vi dela upp den i två fall:
1: a fallet, första och andra medlem av samma tecken.
2: a fallet, första och andra medlem av motsatta tecken.
Upplösning I:
Vi kommer att göra de två sidorna större än noll, det vill säga, vi tar helt enkelt bort modulen. Vi kan också göra med båda negativa, men resultatet blir detsamma.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
Upplösning II:
Sidor av motsatta tecken. Vi kommer att välja en sida för att vara positiv och den andra för att vara negativ.
Välja:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Så vi måste:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Så, uppsättningen lösningar är: S = {4, -2/3}.
Också tillgång: Vad är irrationella ekvationer?
Övningar lösta
Fråga 1 - (UFJF) Antalet negativa lösningar i modulekvationen | 5x - 6 | = x² är:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Upplösning
Alternativ E
Vi vill lösa den modulära ekvationen:
| 5x - 6 | = x²
Så, låt oss dela upp det i två fall:
Upplösning I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Så vi måste:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Kom ihåg att delta-värdet berättar hur många lösningar den kvadratiska ekvationen har:
a = -1
b = 5
c = -6
A = b2 - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Eftersom 1 är positiv, finns det i detta fall två riktiga lösningar.
Upplösning II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
A = b2 - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Eftersom Δ också är positivt i det här fallet finns det två verkliga lösningar, så summan av verkliga lösningar är 4.
Fråga 2 - (PUC SP) Lösningsuppsättningen S för ekvationen | 2x - 1 | = x - 1 är:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Upplösning
Alternativ A
Upplösning I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Så vi måste:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Upplösning II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm