Analytisk geometri: huvudbegrepp och formler

Analytisk geometri studerar geometriska element i ett koordinatsystem i ett plan eller rymd. Dessa geometriska objekt bestäms av deras placering och position i förhållande till punkter och axlar i detta orienteringssystem.

Sedan forntida folk, som egyptierna och romarna, har idén om koordinater redan dykt upp i historien. Men det var på 1600-talet, med verk av René Descartes och Pierre de Fermat, som detta område av matematik systematiserades.

Kartesiskt ortogonalt system

Det ortogonala kartesiska systemet är en referensbas för att lokalisera koordinater. Den består i ett plan av två vinkelräta axlar mot varandra.

O(0,0)-ursprunget för detta system är skärningspunkten mellan dessa axlar.
X-axeln är abskissan.
Y-axeln är ordinatan.
De fyra kvadranter är moturs orientering.

beställt par

Varje punkt på planet har koordinaten P(x, y).

x är abskissan för punkten P och utgör avståndet från dess ortogonala projektion på x-axeln till origo.
y är ordinatan för punkten P och är avståndet från dess ortogonala projektion på y-axeln till origo.

instagram story viewer

avståndet mellan två punkter

Avståndet mellan två punkter på det kartesiska planet är längden på segmentet som förenar dessa två punkter.

Formel för avstånd mellan två punkter rak A vänster parentes rak x med rak A nedsänkt komma rakt mellanslag y med rak A nedsänkt höger parentes och raka B öppna parenteser raka x med raka B nedsänkta kommatecken raka mellanslag y med raka B nedsänkta mellanslag stäng parenteser några.

startstil matematik storlek 22px rak d med AB nedsänkt är lika med kvadratroten ur vänster parentes rak x med rak B nedsänkt minus rak x med rak A nedsänkt höger kvadratisk parentes plus vänster parentes rak y med rak B nedsänkt minus rak y med rak A nedsänkt höger kvadratisk parentes slutet av rotänden av stil

Mittpunktskoordinater

Mittpunkt är den punkt som delar ett segment i två lika delar.

Varelse M öppnar parentes x med M nedsänkt kommatecken y med M nedsänkt stänger parentes mittpunkten av ett segment stapla A B med stång ovanför , dess koordinater är det aritmetiska medelvärdet för abskissan och ordinatan.

startstil matematik storlek 22px x med rak M nedsänkt lika med täljare rak x med rak B nedsänkt plus rak x med rak A nedsänkt över nämnare 2 slutet av bråk slutet av stil och

Trepunktsjusteringsvillkor

Med tanke på poängen: .

Dessa tre punkter kommer att anpassas om determinanten för följande matris är lika med noll.

startstil matematik storlek 22px det mellanslag öppna hakparenteser tabellrad med cell med rak x med rak A nedsänkt slutet av cell cell med rak y med rak A slutet av cell nedsänkt 1 rad med cell med rak x med rak B nedsänkt slutet av cell cell med rak y med rak B nedsänkt slutet av cell 1 rad med cell med rak x med rak C nedsänkt slutet av cell cell med rak y med rak C nedsänkt slutet av cell 1 slutet av tabellen stänger hakparenteser mellanslag lika med mellanslag 0 slutet av stil

Exempel

Vinkelkoefficient för en linje

backen rak m av en rät linje är tangenten till dess lutning alfa med avseende på x-axeln.

startstil matte storlek 22px rak m mellanslag lika med mellanslag tg rakt mellanslag alfa slutet av stil

För att få lutningen från två punkter:

startstil matematik storlek 22px rak m lika med täljare rak y med rak B nedsänkt minus rak y med rak A nedsänkt över nämnaren rak x med rak B nedsänkt minus rak x med rak A nedsänkt slutet av bråkdelen av stil

Om m > 0, är linjen stigande, annars, om m < 0, är linjen fallande.

linjens allmänna ekvation

Var De,B och ç är konstanta reella tal och, De och B de är inte samtidigt ogiltiga.

Exempel

Linjeekvation att känna till en punkt och lutningen

gett en poäng rak A öppnar parentes rak x med 0 nedsänkt komma rakt mellanslag y med 0 nedsänkt stänger parentes och sluttningen rak m .

Linjens ekvation blir:

startstil matematik storlek 22px rak y minus rak y med 0 nedsänkt är lika med rak m vänster parentes rak x minus rak x med 0 nedsänkt höger parentes slutet av stil

Exempel

Reducerad form av den raka ekvationen

startstil matte storlek 22px rak y är lika med mx rak n slutet av stil

Var:
m är lutningen;
n är den linjära koefficienten.

Nej är ordnad där linjen skär y-axeln.

Exempel

Se Linjeekvation.

Relativt läge mellan två parallella linjer i ett plan

Två distinkta linjer är parallella när deras lutning är lika.

om en straight r har lutning rak m med rak r subskript , och en stege s har lutning rak m med rak s underskrift , dessa är parallella när:

startstil matematik storlek 22px rak m med rak r nedsänkt är lika med rak m med rak s nedsänkt stilslut

För detta måste dina böjelser vara lika.

m med s nedsänkt lika med t g alfamellanslag med s nedsänkt mellanslag slutet av nedsänkt m med r nedsänkt lika med t g alfamellanrum med r nedsänkt mellanslag slutet av nedsänkt

Tangenter är lika när vinklarna är lika.

Relativt läge mellan två konkurrerande räta linjer i ett plan

Två linjer är samtidigt när deras sluttningar är olika.

Fel vid konvertering från MathML till tillgänglig text.

I sin tur skiljer sig lutningarna åt när deras lutningsvinklar i förhållande till x-axeln är olika.

alfa med r nedsänkt inte lika alfa med s nedsänkt

vinkelräta linjer

Två rester är vinkelräta när produkten av deras sluttningar är lika med -1.

två rakor r och s, distinkt, med sluttningar m med r subskript och m med s prenumererade , är vinkelräta om, och endast om:

startstil matte storlek 22px rak m med rak r subscript. rak m med s nedsänkt är lika med minus 1 slutet av stilen

eller

startstil matematik storlek 22px rak m med rak r nedsänkt är lika med minus 1 över rak m med rak s nedsänkt stilslut

Ett annat sätt att veta om två linjer är vinkelräta är från deras ekvationer i allmän form.

Ekvationerna för linjerna r och s är:

r kolon ett mellanslag med r nedsänkt x plus b med r nedsänkt y plus mellanslag c med r nedsänkt mellanslag s kolon ett mellanslag med s nedsänkt x plus b med s nedsänkt y plus c med s nedsänkt

Två linjer vinkelräta mot den när:

start stil matte storlek 22px rak a med rak r subscript. rak a med rak s nedsänkt plus rak b med rak r nedsänkt. rak b med rak s underskrift lika med 0 slutet av stil

Se Vinkelräta linjer.

Omkrets

Omkrets är platsen på planet där alla punkter P(x, y) är på samma avstånd r från dess centrum C(a, b), där r är måttet på att vara radie.

Omkretsekvation i reducerad form

startstil matematik storlek 22px öppna hakparenteser x minus raka hakparenteser plus öppen parentes y minus rak b stänger kvadratparentes lika med rak r kvadratisk ände av stil

Var:
r är radien, avståndet mellan valfri punkt på din båge och mitten. Ç.
De och B är koordinaterna för centrum Ç.

cirkelns allmänna ekvation

startstil matematik storlek 22px rak x kvadrat plus rak y kvadrat minus 2 axe minus 2 gånger plus öppen parentes rak a kvadrat plus rak b kvadrat minus rak r kvadrat stänger parentes lika med 0 slutet av stil

Det erhålls genom att utveckla de kvadratiska termerna för den reducerade ekvationen av omkretsen.

Det är mycket vanligt att visa den allmänna formen av omkretsekvationen i övningar, även känd som normalformen.

konisk

Ordet konisk kommer från en kon och syftar på kurvorna som erhålls genom att sektionera den. Ellips, hyperbel och parabel är kurvor som kallas koniska.

Ellips

Ellips är en sluten kurva som erhålls genom att sektionera en rak cirkulär kon med ett plan snett mot axeln, som inte passerar genom vertexet och inte är parallellt med dess generatriser.

I ett plan är mängden av alla punkter vars summa av avstånden till två inre fixpunkter är konstant.

Ellipselement:

F1 och F2 är ellipsens brännpunkter;
2c är ellipsens brännvidd. Det är avståndet mellan F1 och F2;
Punkten O det är mitten av ellipsen. Det är mittpunkten mellan F1 och F2;
A1 och A2 är ellipsens hörn;
segmentet huvudaxel och lika med 2a.
segmentet mindre axel är lika med 2b.
Excentricitet där 0 < och < 1.

Reducerad Ellipsekvation

Betrakta en punkt P(x, y) som finns i ellipsen där x är abskissan och y är ordinatan för denna punkt.

Ellipsens centrum vid utgångspunkten för koordinatsystemet och huvudaxeln (AA) på x-axeln.

startstil matematik storlek 22px rak x kvadrat över rak a kvadrat plus rak y kvadrat över rak b kvadrat är lika med 1 slutet av stil

Ellipsens centrum vid utgångspunkten för koordinatsystemet och huvudaxeln (AA) på y-axeln.

startstil matematik storlek 22px rak x kvadrat över rak b kvadrat plus rak y kvadrat över rak a kvadrat är lika med 1 slutet av stil

Minskad ekvation för ellipsen med axlar parallella med koordinataxlarna

överväger en punkt rak vänster parentes rak x med 0 nedsänkt komma rakt mellanslag y med 0 nedsänkt höger parentes som ursprunget till det kartesiska systemet och, en punkt rak C vänster parentes rak x med 0 nedsänkt komma rakt mellanslag y med 0 nedsänkt höger parentes som mitten av ellipsen.

AA huvudaxel, parallell med x-axeln.

startstil matematik storlek 22px vänster parentes rak x minus rak x med 0 nedsänkt höger parentes kvadratisk över rak ao kvadrat plus vänster parentes rak y minus rak y med 0 nedsänkt höger parentes kvadratisk över rak b kvadrat lika med 1 slutet av stil

AA huvudaxel, parallell med y-axeln.

Överdrift

Hyperbel är en uppsättning punkter på ett plan där skillnaden mellan två fasta punkter F1 och F2 resulterar i ett konstant, positivt värde.

Element av överdrift:

F1 och F2 är fokus för hyperbel.
2c = är brännvidden.
Hyperbolens centrum är poängen O, F1F2 segmentgenomsnitt.
A1 och A2 är hörnen.
2a = A1A2 är den reella eller tvärgående axeln.
2b = B1B2 är den imaginära eller konjugerade axeln.
är excentriciteten.

Genom triangeln B1OA2

rak c i kvadrat är lika med rak a i kvadrat plus rak b i kvadrat

Hyperbel reducerad ekvation

Med reell axel om x-axel och centrum vid utgångspunkt.
startstil matematik storlek 22px rak x kvadrat över rak a kvadrat minus rak y kvadrat över rak b kvadrat är lika med 1 slutet av stil

Med reell axel på y-axeln och centrum vid utgångspunkt.

Hyperbolekvation med axlar parallella med koordinataxlar

AA reell axel parallell med x-axeln och centrum rak C vänster parentes rak x med 0 nedsänkt rak komma y med 0 nedsänkt höger parentes .

startstil matematik storlek 22px vänster parentes rak x minus rak x med 0 nedsänkt höger parentes kvadratisk över rak ao kvadrat minus vänster parentes rak y minus rak y med 0 nedsänkt höger parentes kvadratisk över rak b kvadrat lika med 1 slutet av stil

Verklig axel AA parallell med y-axel och centrum rak C vänster parentes rak x med 0 nedsänkt rak komma y med 0 nedsänkt höger parentes .

startstil matematik storlek 22px vänster parentes rak y minus rak y med 0 nedsänkt höger parentes kvadratisk över rak a ao kvadrat minus vänster parentes rak x minus rak x med 0 nedsänkt höger parentes kvadratisk över rak b kvadrat lika med 1 slutet av stil

Liknelse

Parabel är den plats där uppsättningen av punkter P(x, y) är på samma avstånd från en fast punkt F och en linje d.

Beståndsdelar i liknelsen:

F är liknelsens fokus;
d är den raka riktlinjen;
Symmetriaxeln är den räta linjen genom fokus F och vinkelrät mot riktlinjen.
V är spetsen på parabeln.
p är segmentet med samma längd mellan fokus F och vertex Ve, mellan vertex och direktiv d.