Cosine Law: tillämpning, exempel och övningar

DE Cosinus lag används för att beräkna måttet på ena sidan eller en okänd vinkel i vilken triangel som helst, med kännedom om dess andra mått.

Uttalande och formler

Kosinosatsen säger att:

"I vilken triangel som helst är kvadraten på ena sidan summan av kvadraterna på de andra två sidorna minus två gånger produkten av dessa två sidor av cosinus för vinkeln mellan dem.."

Således har vi enligt lagen om cosinus följande förhållanden mellan sidorna och vinklarna i en triangel:

Exempel

1. Två sidor av en triangel mäter 20 cm och 12 cm och bildar en vinkel på 120 ° mellan dem. Beräkna mätningen av den tredje sidan.

Lösning

För att beräkna måttet på den tredje sidan kommer vi att använda cosinuslagen. För detta, låt oss överväga:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (värde finns i trigonometriska tabeller).

Ersätta dessa värden i formeln:

De² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
De² = 400 + 144 + 240
De² = 784
a = √784
a = 28 cm

Så den tredje sidan mäter 28 cm.

2. Bestäm måttet på sidan AC och måttet på vinkeln med vertex vid A från följande bild:

Låt oss först bestämma AC = b:

B² = 8² + 10² – 2. 8. 10. cos 50: e
B² = 164 – 160. cos 50: e
B² = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82

Låt oss nu bestämma vinkelmåttet med cosinuslag:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. cos
64 = 161.1524 - 156.4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º

Notera: För att hitta värdena på cosinusvinklarna använder vi Trigonometrisk tabell. I den har vi värdena för vinklar från 1º till 90º för varje trigonometrisk funktion (sinus, cosinus och tangent).

Ansökan

Kosinisk lag kan tillämpas på vilken triangel som helst. Vare sig det är vinklat (inre vinklar mindre än 90 °), tråkigt vinklat (med en inre vinkel större än 90 °) eller rektangel (med en inre vinkel lika med 90 °).

Representation av trianglar i termer av deras inre vinklar

Vad sägs om de rektangulära trianglarna?

Låt oss tillämpa cosinuslagen på sidan mittemot 90 ° -vinkeln, som anges nedan:

De² = b² + c² - 2. B. ç. cos 90º

Som cos 90º = 0 blir uttrycket ovan:

De² = b² + c²

Vilket är detsamma som uttrycket för Pythagoras sats. Således kan vi säga att denna sats är ett särskilt fall av cosinuslagen.

Kosinisk lag är lämplig för problem där vi känner till två sidor och vinkeln mellan dem och vi vill hitta den tredje sidan.

Vi kan fortfarande använda den när vi känner till tre sidor av triangeln och vill veta en av dess vinklar.

För situationer där vi känner till två vinklar och bara en sida och vill bestämma en annan sida, är det bekvämare att använda syndens lag.

Definition av Cosine och Sine

Cosinus och sinus för en vinkel definieras som trigonometriska förhållanden i en rätt triangel. Sidan mittemot den rätta vinkeln (90º) kallas hypotenus och de andra två sidorna kallas benen, som visas i figuren nedan:

Representation av höger triangel och dess sidor: höfter och hypotenus

Cosine definieras sedan som förhållandet mellan mätningen av intilliggande sida och hypotenusen:

Sinusen å andra sidan är förhållandet mellan mätningen av motsatt ben och hypotenusen.

Entréexamensövningar

1. (UFSCar) Om sidorna av en triangel mäter x, x + 1 och x +2, då för någon x verklig och större än 1, är cosinus med den största inre vinkeln i denna triangel lika med:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x - 2 / 3x
e) x - 3 / 2x

Se Svar

Alternativ e) x - 3 / 2x

2. (UFRS) I triangeln som visas i figuren nedan har AB och AC samma mått, och höjden relativt sidan BC är lika med 2/3 av måttet BC.

Baserat på dessa data är cosinus för vinkel CÂB:

a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

Se Svar

Alternativ a) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) Två sidor av en triangel mäter 8 m och 10 m och bildar en vinkel på 60 °. Den tredje sidan av denna triangel mäter:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m

Se Svar

Alternativ a) 2√21 m

Läs mer om ämnet:

• Trigonometri
• Trigonometri i rektangel triangeln
• Trigonometriövningar i rätt triangel
• Trigonometriska relationer
• Trigonometrisk cirkel
• Trigonometriska funktioner