Exponentiell funktion: 5 kommenterade övningar

DE exponentiell funktion är varje funktion av ℝ i ℝ^*_+, definierad av f (x) = a^x, där a är ett reellt tal, större än noll och inte lika med 1.

Dra nytta av de kommenterade övningarna för att rensa alla dina tvivel om detta innehåll och se till att kontrollera dina kunskaper i de lösta frågorna i tävlingar.

Kommenterade övningar

Övning 1

En grupp biologer studerar utvecklingen av en viss bakteriekoloni och fann att under ideala förhållanden kan antalet bakterier hittas genom uttrycket N (t) = 2000. 2^{0,5 ton}, är t i timmar.

Med tanke på dessa förhållanden, hur länge efter observationens början kommer antalet bakterier att vara lika med 8192000?

Lösning

I den föreslagna situationen vet vi antalet bakterier, det vill säga vi vet att N (t) = 8192000 och vi vill hitta värdet av t. Så ersätt bara detta värde i det angivna uttrycket:

För att lösa denna ekvation, låt oss skriva siffran 4096 i primfaktorer, för om vi har samma bas kan vi vara lika med exponenterna. Därför har vi:

Således kommer kulturen att ha 8 192 000 bakterier efter 1 dag (24 timmar) från observationsstart.

Övning 2

Radioaktiva material har en naturlig tendens att sönderdelas sin radioaktiva massa över tid. Den tid det tar för hälften av dess radioaktiva massa att sönderfalla kallas dess halveringstid.

Mängden radioaktivt material av ett visst element ges av:

Varelse,

N (t): mängden radioaktivt material (i gram) under en given tid.
N₀: den ursprungliga mängden material (i gram)
T: halveringstid (i år)
t: tid (i år)

Med tanke på att halveringstiden för detta element är lika med 28 år, bestäm den tid som krävs för att det radioaktiva materialet ska minska till 25% av dess ursprungliga mängd.

Lösning

För den föreslagna situationen A (t) = 0,25 A.₀ = 1/4 A.₀, så att vi kan skriva det givna uttrycket, ersätta T med 28 år, sedan:

Därför kommer det att ta 56 år innan mängden radioaktivt material minskas med 25%.

Tävlingsfrågor

1) Unesp - 2018

Ibuprofen är ett receptbelagt läkemedel mot smärta och feber med en halveringstid på cirka 2 timmar. Detta innebär att till exempel, efter 2 timmars intag av 200 mg ibuprofen, bara 100 mg av läkemedlet finns kvar i patientens blodomlopp. Efter ytterligare två timmar (totalt 4 timmar) återstår bara 50 mg i blodomloppet och så vidare. Om en patient får 800 mg ibuprofen var 6: e timme, kommer mängden av detta läkemedel att finnas kvar i blodomloppet under den 14: e timmen efter att ha tagit den första dosen.

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Se Svar

Eftersom den initiala mängden medicinering i blodomloppet varannan timme är uppdelad i hälften kan vi representera denna situation med hjälp av följande schema:

Observera att exponenten i varje situation är lika med tiden dividerad med 2. Således kan vi definiera mängden medicinering i blodomloppet som en funktion av tiden med hjälp av följande uttryck:

Varelse

Q (t): kvantiteten under en given timme
F₀: det ursprungliga beloppet som intagits
t: tid i timmar

Med tanke på att 800 mg ibuprofen togs var 6: e timme, har vi:

För att hitta mängden medicinering i blodomloppet 14 timmar efter intag av den första dosen, måste vi lägga till mängderna som avser den första, andra och tredje dosen. Vi beräknar dessa kvantiteter:

Mängden av den första dosen kommer att hittas med tanke på tiden lika med 14 timmar, så vi har:

För den andra dosen, som visas i diagrammet ovan, var tiden 8 timmar. Vi har ersatt detta värde:

Tiden för den tredje dosen är bara två timmar. Mängden relaterad till den tredje dosen blir då:

Nu när vi vet mängderna för varje intagen dos kan vi hitta den totala mängden genom att lägga till var och en av de mängder som hittats:

F_total= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternativ b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

En sjö som användes för att försörja en stad var förorenad efter en industriell olycka och nådde toxicitetsnivån T₀motsvarande tio gånger den initiala nivån.
Läs informationen nedan.

• Sjöns naturliga flöde gör att 50% av volymen kan förnyas var tionde dag.
• Toxicitetsnivån T (x), efter x dagar efter olyckan, kan beräknas med hjälp av följande ekvation:

Tänk på D det minsta antalet dagar av vattenförsörjningen, nödvändigt för att toxiciteten ska återgå till den ursprungliga nivån.
Om log 2 = 0,3 är värdet D lika med:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Se Svar

För att återgå till den ursprungliga toxicitetsnivån är det nödvändigt att:

Att ersätta detta värde i den givna funktionen har vi:

Multiplicering i "kors" blir ekvationen:

2 ^0,1x= 10

Låt oss använda bas 10-logaritmen på båda sidor för att göra den till en 1-graders ekvation:

logg (2^0,1x) = logg 10

Kom ihåg att loggen på 10 i bas 10 är lika med 1, kommer vår ekvation att se ut:

0,1x logg 2 = 1

Med tanke på att log 2 = 0,3 och ersätta detta värde i ekvationen:

Således är det minsta antalet dagar, ungefär, att leveransen ska avbrytas 34 dagar.

Alternativ c) 34

3) Fuvesp - 2018

Låt f: ℝ → ℝ och g: ℝ₊ → ℝ definierad av

respektive.

Grafen för kompositfunktionen g_ºtro:

Se Svar

Grafen du letar efter är kompositfunktionen g_ºDärför är det första steget att bestämma denna funktion. För detta måste vi ersätta funktionen f (x) i x för funktionen g (x). Genom att göra denna ersättning kommer vi att hitta:

Med hjälp av logaritmegenskapen för kvoten och en kraft har vi:

Observera att funktionen som finns ovan är av typen ax + b, vilket är en affin funktion. Så din graf kommer att vara en rak linje.

Lutningen a är också lika med loggen₁₀ 5, vilket är ett positivt tal, så diagrammet kommer att öka. På detta sätt kan vi eliminera alternativen b, c och e.

Vi har kvar alternativen a och d, men när x = 0 har vi gof = - log₁₀ 2 vilket är ett negativt värde som visas i diagram a.

Alternativ a)

4) Unicamp - 2014

Diagrammet nedan visar den biotiska potentialkurvan q (t) för en population av mikroorganismer över tiden t.

Eftersom a och b är verkliga konstanter är den funktion som kan representera denna potential

a) q (t) = vid + b
b) q (t) = ab^t
c) q (t) = vid² + bt
d) q (t) = a + logg _B t

Se Svar

Från den visade grafen kan vi identifiera att när t = 0 är funktionen lika med 1000. Dessutom är det också möjligt att observera att funktionen inte är affin, eftersom diagrammet inte är en rak linje.

Om funktionen var av typen q (t) = at²+ bt, när t = 0, skulle resultatet vara lika med noll och inte 1000. Så det är inte heller en kvadratisk funktion.

Hur man loggar_B0 är inte definierat, och det kan inte heller svara på funktionen q (t) = a + log_Bt.

Således skulle det enda alternativet vara funktionen q (t) = ab^t. Med tanke på t = 0 kommer funktionen att vara q (t) = a, eftersom a är ett konstant värde är det tillräckligt att det är lika med 1000 för att funktionen ska passa den angivna grafen.

Alternativ b) q (t) = ab^t

5) Enem (PPL) - 2015

Arbetarförbundet i ett företag föreslår att lönegolvet i klassen är R $ 1800,00 och föreslår en fast procentsats för varje år som ägnas åt arbete. Uttrycket som motsvarar löneförslaget, som en funktion av tjänstens längd (t), i år, är s (t) = 1800. (1,03)^t .

Enligt fackföreningens förslag kommer lönen till en professionell från detta företag med två års tjänst att vara i realis,

a) 7 416,00
b) 3,819,24
c) 3,709,62
d) 3 708,00
e) 1 909,62.

Se Svar

Uttrycket för att beräkna lönen som en funktion av den tid som föreningen föreslår motsvarar en exponentiell funktion.

För att hitta lönevärdet i den angivna situationen, låt oss beräkna värdet på s, när t = 2, som anges nedan:

s (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Alternativ e) 1 909,62

Läs också:

• Exponentiell funktion
• Logaritm
• Logaritm - Övningar
• Logaritmegenskaper
• Potentiering
• potentieringsövningar
• Affine-funktion
• Linjär funktion
• Relaterade funktionsövningar
• Kvadratisk funktion
• Kvadratisk funktion - Övningar
• Matematiska formler