Sammansatta ränteövningar

Sammansatt ränta representerar den korrigering som tillämpats på ett belopp som lånats eller tillämpats. Denna typ av korrigering kallas också ränta på ränta.

Som ett innehåll med stor tillämpbarhet visas det ofta i tävlingar, inträdesprov och på Enem. Använd därför frågorna nedan för att verifiera din kunskap om detta innehåll.

Kommenterade frågor

1) Enem - 2018

I ett låneavtal föreskrivs att när en del betalas i förskott kommer en räntesänkning att beviljas i enlighet med förskottsperioden. I det här fallet betalas nuvärdet, vilket är värdet vid den tiden, av ett belopp som ska betalas vid ett framtida datum. Ett nuvärde P som överlämnas till sammansatt ränta till ränta i under en tidsperiod n, ger ett framtida värde V bestämt av formeln

I ett låneavtal med sextio månatliga fasta avbetalningar på R $ 820,00, till en räntesats på 1,32% per månad, tillsammans med den trettionde delen betalas en annan del i förskott, förutsatt att rabatten är större än 25% av värdet på del.

Använd 0.2877 som en approximation för

och 0,0131 som en approximation till ln (1,0132).
Den första avbetalningen som kan förväntas tillsammans med den 30: e är

a) 56: e
b) 55: e
c) 52: e
d) 51.
e) 45: e

Se Svar

I den föreslagna frågan vill vi ta reda på vilken del som använder räntesänkningen vid förskottsbetalning, det betalda beloppet har en rabatt på mer än 25%, det vill säga:

Förenkla fraktionen (dividera topp och botten med 25) och upptäck att beloppet som ska betalas för förskottet måste vara:

Den förväntade avbetalningen motsvarar det framtida värdet korrigerat till nuvärdet, det vill säga diskonterat 1,32% räntan när du betalar denna del före löptiden, det vill säga:

Där n är lika med den period som kan förväntas. Vi har ersatt detta uttryck i det föregående:

Eftersom 820 visas på båda sidor av ojämlikheten kan vi förenkla, "klippa" detta värde:

Vi kan invertera fraktionerna och vara försiktiga med att också invertera tecken på ojämlikhet. Så vårt uttryck är:

Observera att värdet vi vill hitta finns i exponenten (n). För att lösa ojämlikheten kommer vi därför att tillämpa den naturliga logaritmen (ln) på båda sidor av ojämlikheten, det vill säga:

Nu kan vi ersätta de värden som anges i uttalandet och hitta värdet av n:

Eftersom n måste vara större än det värde som hittats måste vi förutse 22 delbetalningar, det vill säga vi betalar den 30: e delen tillsammans med den 52: a (30 + 22 = 52).

Alternativ: c) 52: e

2) Enem - 2011

En ung investerare måste välja vilken investering som ger honom den största ekonomiska avkastningen i en investering på R $ 500,00. För att göra detta undersöker den inkomst och skatt som ska betalas på två investeringar: sparande och CDB (bankintyg). Den erhållna informationen sammanfattas i tabellen:

För den unga investeraren är den mest fördelaktiga applikationen i slutet av en månad

a) besparingar, eftersom det kommer att uppgå till R $ 502,80.
b) besparingar, eftersom det kommer att uppgå till R $ 500,56.
c) CDB: n, eftersom den uppgår till ett belopp på R $ 504,38.
d) CDB: n, eftersom den uppgår till ett belopp på R $ 504,21.
e) CDB, eftersom det kommer att uppgå till ett belopp på R $ 500,87.

Se Svar

För att ta reda på vad som är bäst avkastning, låt oss beräkna hur mycket varje kommer att ge i slutet av en månad. Så låt oss börja med att beräkna sparinkomsten.

Med tanke på problemdata har vi:

c = BRL 500,00
i = 0,560% = 0,0056 a.m.
t = 1 månad
M =?

Genom att ersätta dessa värden i sammansatta ränteformler har vi:

M = C (1 + i)^t
M_besparingar = 500 (1 + 0,0056)¹
M_besparingar = 500.1,0056
M_besparingar = BRL 502,80

Som i denna typ av ansökan finns det ingen inkomstskattrabatt, så detta kommer att vara det belopp som löses in.

Låt oss nu beräkna värdena för CDB. För denna ansökan är räntan lika med 0,876% (0,00876). Vi har ersatt dessa värden:

M_CBD = 500 (1+0,00876)¹
M_CBD = 500.1,00876
M_CBD = BRL 504,38

Detta belopp är inte det belopp som investeraren får, eftersom det i denna ansökan finns en rabatt på 4%, avseende inkomstskatt, som bör tillämpas på den erhållna räntan, som anges vrål:

J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38

Vi måste beräkna 4% av detta värde, gör bara:

4,38.0,04 = 0,1752

Tillämpa denna rabatt på värdet finner vi:

504,38 - 0,1752 = BRL 504,21

Alternativ: d) CDB, eftersom det uppgår till ett belopp på R $ 504,21.

3) UERJ - 2017

Ett kapital i rea rea ​​investerades med en sammansatt ränta på 10% per månad och genererade, på tre månader, ett belopp på 53 240 R $. Beräkna värdet, i reais, av startkapitalet C.

Se Svar

Vi har följande data i problemet:

M = 53240,00 BRL
i = 10% = 0,1 per månad
t = 3 månader
C =?

Genom att ersätta dessa data i sammansatta ränteformler har vi:

M = C (1 + i)^t
53240 = C (1 + 0,1)³
53240 = 1,331 ° C

4) Fuvest - 2018

Maria vill köpa en TV som säljs för R $ 1500,00 i kontanter eller i tre månatliga räntefria avbetalningar på R $ 500,00. Pengarna som Maria satte av för detta köp räcker inte för att betala kontant, men hon upptäckte att banken erbjuder en finansiell investering som tjänar 1% i månaden. Efter att ha gjort beräkningarna drog Maria slutsatsen att om hon betalar den första avbetalningen och samma dag tillämpar den återstående belopp kommer du att kunna betala de två återstående delbetalningarna utan att behöva lägga eller ta en cent inte ens. Hur mycket har Maria avsatt för detta köp, i reais?

a) 1.450,20
b) 1 480,20
c) 1 485,20
d) 1 495,20
e) 1 490,20

Se Svar

I detta problem måste vi göra likvärdigheten av värden, det vill säga vi känner till det framtida värdet som måste betalas i varje del och vi vill veta nuvärdet (kapital som kommer att tillämpas).

För denna situation använder vi följande formel:

Med tanke på att ansökan ska ge 500,00 BRL vid tidpunkten för betalning av den andra delen, vilket kommer att vara 1 månad efter betalningen av den första delen, har vi:

För att även betala den tredje delen på R $ 500,00 kommer beloppet att tillämpas i två månader, så det applicerade beloppet kommer att motsvara:

Således är det belopp som Maria avsatt för köpet lika med summan av de belopp som tillämpats med beloppet för den första delen, det vill säga:

V = 500 + 495,05 + 490,15 = BRL 1 485,20

Alternativ: c) BRL 1 485,20

5) UNESP - 2005

Mário tog ett lån på R $ 8.000,00 till 5% ränta per månad. Två månader senare betalade Mário R $ 5.000,00 av lånet och en månad efter denna betalning betalade han hela sin skuld. Värdet på den senaste betalningen var:

a) 3015 BRL.
b) 3.820,00 BRL.
c) 4,011,00 BRL.
d) 511,00 BRL.
e) BRL 5 250,00.

Se Svar

Vi vet att lånet betalades i två omgångar och att vi har följande uppgifter:

V_P = 8000
i = 5% = 0,05 a.m
V_F1 = 5000
V_F2 = x

Med tanke på uppgifterna och gör likvärdigheten mellan huvudstäder har vi:

Alternativ: c) 4011,00 dollar.

6) PUC / RJ - 2000

En bank tar ut en ränta på 11% per månad på sin checkräkningstjänst. För varje 100 återbetalningskrav debiterar banken 111 under den första månaden, 123,21 i den andra och så vidare. Vid ett belopp på 100 reais kommer banken i slutet av ett år att debitera ungefär:

a) 150 reais.
b) 200 reais
c) 250 reais.
d) 300 reais.
e) 350 reais.

Se Svar

Utifrån informationen i problemet identifierade vi att korrigeringen av det belopp som tas ut av checkräkningen sker med sammansatt ränta.

Observera att beloppet för den andra månaden beräknades med tanke på det belopp som redan korrigerats för den första månaden, det vill säga:

J = 111. 0,11 = BRL 12,21

M = 111 + 12,21 = BRL 123,21

För att hitta det belopp som banken kommer att ta ut i slutet av ett år, låt oss tillämpa sammansatta ränteformler, det vill säga:

M = C (1 + i)^t

Varelse:

C = 100,00 BRL
i = 11% = 0,11 per månad
t = 1 år = 12 månader
M = 100 (1 + 0,11)¹²
M = 100.1.11¹²
M = 100,3498

Alternativ: e) 350 reais

Läs också om detta ämne:

• Procentsats
• Hur beräknar man procentandel?
• Procentuella övningar
• Matematiska formler
• Matematik i fiende