Det plana figurområdet representerar omfattningen av figurens förlängning i planet. Som platta figurer kan vi nämna bland annat triangeln, rektangeln, romben, trapesen, cirkeln.
Använd frågorna nedan för att kontrollera dina kunskaper om detta viktiga geometriämne.
Tävlingsproblem löst
fråga 1
(Cefet / MG - 2016) En kvadratyta på en webbplats måste delas i fyra lika delar, även kvadratiska, och i en av dem måste en inhemsk skogsreservat (kläckt område) upprätthållas, som visas i figur a Följ.
Att veta att B är mittpunkten för segment AE och C är mittpunkten för segment EF, det kläckta området, i m2, ge mig
a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.
Rätt alternativ: c) 1562.5.
När vi observerar figuren märker vi att det kläckta området motsvarar torget med en sida 50 m minus arean av trianglarna BEC och CFD.
Mätningen av sidan BE, av triangeln BEC, är lika med 25 m, eftersom punkt B delar sidan i två kongruenta segment (segmentets mittpunkt).
Detsamma händer med sidorna EC och CF, det vill säga deras mått är också lika med 25 m, eftersom punkt C är mittpunkten för segment EF.
Således kan vi beräkna arean av trianglarna BEC och CFD. Med tanke på två sidor som kallas basen kommer den andra sidan att vara lika med höjden, eftersom trianglar är rektanglar.
När vi beräknar kvadratytan och trianglarna BEC och CFD har vi:
Därför är det kläckta området, i m2, mäter 1562,5.
fråga 2
(Cefet / RJ - 2017) En kvadrat med en x-sida och en liksidig triangel med en y-sida har områden av samma mått. Således kan det sägas att x / y-förhållandet är lika med:
Rätt alternativ: .
Informationen i problemet är att områdena är desamma, det vill säga:
Området för triangeln hittas genom att multiplicera basmätningen med höjdmätningen och dela resultatet med 2. Eftersom triangeln är liksidig och sidan lika med y, ges dess höjdvärde av:
Därför kan man säga att x / y-förhållandet är lika med .
fråga 3
(IFSP - 2016) Ett offentligt torg i form av en cirkel har en radie på 18 meter. Mot bakgrund av ovanstående markerar du alternativet som presenterar ditt område.
a) 1 017,36 m2
b) 1 254,98 m2
c) 1 589,77 m2
d) 1 698,44 m2
e) 1 710,34 m2
Rätt alternativ: a) 1017, 36 m2.
För att hitta kvadratytan måste vi använda formeln för cirkelns område:
A = π.R2
Genom att byta ut radievärdet och med tanke på π = 3.14 hittar vi:
A = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1017, 36 m2
Därför är kvadratytan 1 017, 36 m2.
fråga 4
(IFRS - 2016) En rektangel har dimensionerna x och y, vilka uttrycks av x-ekvationerna2 = 12 och (y - 1)2 = 3.
Rektangelns omkrets och area är respektive
a) 6√3 + 2 och 2 + 6√3
b) 6√3 och 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 och 12
d) 6 och 2√3
e) 6√3 + 2 och 2√3 + 6
Rätt alternativ: e) 6√3 + 2 och 2√3 + 6.
Låt oss först lösa ekvationerna för att hitta värdena på x och y:
x2= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(y - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Rektangelns omkrets är lika med summan av alla sidor:
P = 2.2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
För att hitta området, multiplicera bara x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Därför är omkretsen och arean på rektangeln respektive 6√3 + 2 och 2√3 + 6.
fråga 5
(Apprentice Sailor - 2016) Analysera följande figur:
Att veta att EP är radien för den centrala halvcirkeln i E, som visas i figuren ovan, bestämma värdet på det mörkaste området och kontrollera rätt alternativ. Data: antal π = 3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Rätt alternativ: b) 12 cm2.
Det mörkaste området finns genom att lägga till halvcirkelns område till området för triangeln ABD. Låt oss börja med att beräkna triangelns yta. Observera att triangeln är en rektangel.
Låt oss ringa AD-sidan av x och beräkna dess mått med Pythagoras teorem, som anges nedan:
52= x2 + 32
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Att känna till AD-sidmåttet kan vi beräkna triangelns yta:
Vi behöver fortfarande beräkna ytan på halvcirkeln. Observera att dess radie är lika med halva mätningen på AD-sidan, så r = 2 cm. Halvfångsområdet kommer att vara lika med:
Det mörkaste området hittar du genom att göra: AT = 6 + 6 = 12 cm2
Därför är värdet på det mörkaste området 12 cm2.
fråga 6
(Enem - 2016) En man, far till två barn, vill köpa två tomter med områden av samma mått, en för varje barn. En av de besökta markerna är redan avgränsad och även om den inte har ett konventionellt format (som visas i figur B), glädde den den äldste sonen och köptes därför. Den yngste sonen har ett arkitektoniskt projekt för ett hus han vill bygga, men för det behöver han av en terräng i rektangulär form (som visas i figur A) vars längd är 7 m längre än bredd.
För att tillfredsställa den yngsta sonen måste denna herre hitta en rektangulär mark vars mått, i meter, i längd respektive i bredd, är lika med
a) 7,5 och 14,5
b) 9,0 och 16,0
c) 9.3 och 16.3
d) 10,0 och 17,0
e) 13,5 och 20,5
Rätt alternativ: b) 9.0 och 16.0.
Eftersom arean i figur A är lika med arean i figur B, låt oss först beräkna detta område. För detta, låt oss dela upp figur B, som visas nedan:
Observera att när vi delar upp figuren har vi två rätt trianglar. Därför kommer arean i figur B att vara lika med summan av dessa trianglar. Vi beräknar dessa områden:
Eftersom figur A är en rektangel hittas dess område genom att göra:
DEDE = x. (x + 7) = x2 + 7x
Jämförelse av arean i figur A med värdet som hittades för området i figur B, hittar vi:
x2 + 7x = 144
x2 + 7x - 144 = 0
Låt oss lösa andra gradens ekvation med Bhaskaras formel:
Eftersom ett mått inte kan vara negativt, låt oss bara överväga värdet lika med 9. Därför kommer markens bredd i figur A att vara lika med 9 m och längden kommer att vara lika med 16 m (9 + 7).
Därför måste längd- och breddmätningarna vara lika med 9,0 respektive 16,0.
fråga 7
(Enem - 2015) Ett mobiltelefonföretag har två antenner som kommer att ersättas av en ny, kraftfullare. Täckningsområdena för antennerna som ska bytas ut är cirklar med en radie på 2 km, vars omkrets är tangent till punkt O, som visas i figuren.
Punkt O indikerar positionen för den nya antennen och dess täckningsregion kommer att vara en cirkel vars omkrets yttre tangentierar omkretsarna för de mindre täckningsområdena. Med installationen av den nya antennen utvidgades mätningen av täckningsområdet i kvadratkilometer med
a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π
Rätt alternativ: a) 8 π.
Förstoringen av täckningsområdets mätning kommer att hittas genom att minska områdena för de mindre cirklarna i den större cirkeln (med hänvisning till den nya antennen).
Eftersom omkretsen av det nya täckningsområdet externt berör de mindre omkretsarna, kommer dess radie att vara lika med 4 km, vilket anges i figuren nedan:
Låt oss beräkna områdena A.1 och den2 av de mindre cirklarna och område A3 från den större cirkeln:
DE1 = A2 = 22. π = 4 π
DE3 = 42.π = 16 π
Mätningen av det förstorade området kan hittas genom att göra:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Därför ökade täckningsområdet i kvadratkilometer med installationen av den nya antennen med 8 π.
fråga 8
(Enem - 2015) Diagram I visar konfigurationen av en basketplan. De grå trapezoiderna, kallade carboys, motsvarar begränsade områden.
Syftar till att uppfylla riktlinjerna från centralkommittén för International Basketball Federation (Fiba) 2010, som förenade markeringarna av de olika legeringarna förutsågs en modifiering i domstolarnas karosser, som skulle bli rektanglar, som visas i schemat II.
Efter att ha genomfört de planerade förändringarna skedde en förändring i det område som ockuperades av varje carboy, vilket motsvarar en (a)
a) ökning med 5800 cm2.
b) 75 400 cm ökning2.
c) ökning med 214600 cm2.
d) minskning med 63 800 cm2.
e) minskning med 272600 cm2.
Rätt alternativ: a) ökning med 5800 cm².
För att ta reda på vad förändringen i det ockuperade området var, låt oss beräkna området före och efter ändringen.
Vid beräkningen av schema I kommer vi att använda formeln för trapetsområdet. I diagram II kommer vi att använda formeln för rektangelns yta.
Områdesförändringen blir då:
A = AII - AJag
A = 284 200 - 278400 = 5800 cm2
Efter att ha genomfört de planerade ändringarna skedde därför en förändring i det område som ockuperades av varje kille, vilket motsvarar en ökning med 5800 cm².
Föreslagna övningar (med resolution)
fråga 9
Ana bestämde sig för att bygga en rektangulär pool i sitt hus som var 8 meter lång och 5 meter hög. Runt den var formad som en trapets fylld med gräs.
Att veta att trapetshöjden är 11 m och dess baser är 20 m och 14 m, vad är arean för den del som var fylld med gräs?
a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2
Rätt alternativ: c) 147 m2.
När rektangeln, som representerar poolen, sätts in i en större figur, trapetsen, låt oss börja med att beräkna ytan för den externa figuren.
Trapesområdet beräknas med formeln:
Var,
B är måttet på den största basen;
b är måttet på den minsta basen;
h är höjden.
Genom att ersätta uttalandedata i formeln har vi:
Låt oss nu beräkna rektangelns yta. För det behöver vi bara multiplicera basen med höjden.
För att hitta det område som täcks av gräs måste vi subtrahera utrymmet i poolen från trapetsområdet.
Därför var arealen fylld med gräs 147 m2.
Se också: Trapesområde
fråga 10
För att renovera taket på sitt lager bestämde Carlos sig för att köpa koloniala brickor. Med denna typ av tak behövs 20 stycken för varje kvadratmeter tak.
Om platsens tak bildas av två rektangulära plattor, som i figuren ovan, hur många brickor behöver Carlos köpa?
a) 12000 plattor
b) 16000 plattor
c) 18000 plattor
d) 9600 plattor
Rätt alternativ: b) 16000 plattor.
Lagertaket är tillverkat av två rektangulära plattor. Därför måste vi beräkna ytan på en rektangel och multiplicera med 2.
Därför är den totala takytan 800 m.2. Om varje kvadratmeter behöver 20 plattor, beräknar vi hur många plattor som fyller taket på varje lager med en enkel regel på tre.
Därför blir det nödvändigt att köpa 16 tusen plattor.
Se också: Rektangelområde
fråga 11
Marcia vill att två identiska trävaser ska dekorera ingången till sitt hus. Eftersom hon bara kunde köpa en av sina favoriter, bestämde hon sig för att anställa en snickeriarbetare för att bygga en annan vas med samma dimensioner. Vasen måste ha fyra sidor i en likbent trapesform och basen är en fyrkant.
Utan att ta hänsyn till träets tjocklek, hur många kvadratmeter trä behövs för att reproducera biten?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Rätt alternativ: d) 0,3121 m2.
En likbent trapez är den typ som har lika sidor och baser av olika storlek. Från bilden har vi följande mätningar av trapezius på varje sida av fartyget:
Mindre bas (b): 19 cm;
Större bas (B): 27 cm;
Höjd (h): 30 cm.
Med värdena i handen beräknar vi trapetsområdet:
Eftersom kärlet bildas av fyra trapezoider måste vi multiplicera det område som hittats med fyra.
Nu måste vi beräkna vasens bas, som bildas av en 19 cm kvadrat.
När vi lägger till de beräknade ytorna når vi den totala träytan som ska användas för att bygga.
Området måste dock presenteras i kvadratmeter.
Utan att ta hänsyn till träets tjocklek behövdes därför 0,3121 m2 av material för att tillverka vasen.
Se också: Fyrkantigt område
fråga 12
För att underlätta beräkningen av hur många som deltar i offentliga evenemang anses det vanligtvis att en kvadratmeter är upptagen av fyra personer.
För att fira jubileet för en stad anlitade stadsregeringen ett band för att spela på torget i centrum, som har en yta på 4000 m2. Att veta att torget var fullsatt, hur många personer deltog i evenemanget?
a) 16 tusen människor.
b) 32 tusen människor.
c) 12 tusen människor.
d) 40 tusen människor.
Rätt alternativ: a) 16 tusen personer.
En kvadrat har fyra lika sidor och har sin yta beräknad med formeln: A = L x L.
om i 1 m2 det är upptaget av fyra personer, så fyra gånger kvadratets totala yta ger oss en uppskattning av personer som deltog i evenemanget.
Således deltog 16 tusen personer i evenemanget som främjades av stadshuset.
För att lära dig mer, se även:
- Platta figurområden
- Geometriska former
- Pythagoras sats - Övningar
