Pythagoras 'sats indikerar att, i en rätt triangel, är den kvadrerade hypotenusmåtten lika med summan av benmåttens kvadrater.
Dra nytta av de lösta och kommenterade övningarna för att svara på alla dina tvivel om detta viktiga innehåll.
Föreslagna övningar (med resolution)
fråga 1
Carlos och Ana lämnade hemmet för att arbeta från samma punkt, garaget i byggnaden där de bor. Efter 1 min, färdas en vinkelrät väg, var de 13 m från varandra.
Om Carlos bil gjorde 7 m mer än Ana under den tiden, hur långt var de från garaget?
a) Carlos var 10 m från garaget och Ana var 5 m.
b) Carlos var 14 m från garaget och Ana 7 m.
c) Carlos var 12 m från garaget och Ana var 5 m.
d) Carlos var 13 m från garaget och Ana var 6 m.
Rätt svar: c) Carlos var 12 m från garaget och Ana 5 m.
Sidorna på den högra triangeln som bildas i denna fråga är:
- hypotenus: 13 m
- större ben: 7 + x
- kortare ben: x
Genom att använda värdena i Pythagoras sats har vi:
Nu tillämpar vi Bhaskaras formel för att hitta värdet på x.
Eftersom det är ett mått på längd måste vi använda det positiva värdet. Därför är sidorna av den högra triangeln som bildas i denna fråga:
- hypotenus: 13 m
- längre ben: 7 + 5 = 12 m
- kortare ben: x = 5 m
Således var Ana 5 meter från garaget och Carlos 12 meter bort.
fråga 2
Carla när hon letade efter sin kattunge såg honom ovanpå ett träd. Hon bad sedan sin mamma om hjälp och de placerade en stege vid trädet för att hjälpa katten ner.
Att veta att katten var 8 meter från marken och att stegen låg 6 meter från trädet, hur länge användes stegen för att rädda kattungen?
a) 8 meter.
b) 10 meter.
c) 12 meter.
d) 14 meter.
Rätt svar: b) 10 meter.
Observera att kattens höjd är och avståndet som stegen har placerats i utgör en rät vinkel, det vill säga en 90 graders vinkel. Eftersom stegen är placerad mitt emot den rätta vinkeln, motsvarar dess längd hypotenusen i den högra triangeln.
Genom att tillämpa värdena i Pythagoras sats upptäcker vi värdet av hypotenusen.
Därför är stegen 10 meter lång.
fråga 3
Vilka presenterar värdena för en rätt triangel enligt de åtgärder som presenteras i alternativen nedan?
a) 14 cm, 18 cm och 24 cm
b) 21 cm, 28 cm och 32 cm
c) 13 cm, 14 cm och 17 cm
d) 12 cm, 16 cm och 20 cm
Rätt svar: d) 12 cm, 16 cm och 20 cm.
För att veta om de presenterade måtten bildar en rätt triangel måste vi tillämpa Pythagoras sats för varje alternativ.
a) 14 cm, 18 cm och 24 cm
b) 21 cm, 28 cm och 32 cm
c) 13 cm, 14 cm och 17 cm
d) 12 cm, 16 cm och 20 cm
Därför motsvarar måtten 12 cm, 16 cm och 20 cm sidorna på en höger triangel, eftersom hypotenusens kvadrat, den längsta sidan, är lika med summan av benens kvadrat.
fråga 4
Observera följande geometriska figurer, som har ena sidan i hypotenusen av en höger triangel som mäter 3 m, 4 m och 5 m.
Hitta höjden (h) på den liksidiga triangeln BCD och det diagonala värdet (d) på kvadraten BCFG.
a) h = 4,33 m och d = 7,07 m
b) h = 4,72 m och d = 8,20 m
c) h = 4,45 m och d = 7,61 m
d) h = 4,99 m och d = 8,53 m
Rätt svar: a) h = 4,33 m och d = 7,07 m.
Eftersom triangeln är liksidig betyder det att dess tre sidor har samma mått. Genom att rita en linje som motsvarar triangelns höjd delar vi den i två högra trianglar.
Detsamma gäller för torget. När vi drar dess diagonala linje kan vi se två rätt trianglar.
Genom att använda data från uttalandet i Pythagoras sats upptäcker vi värdena enligt följande:
1. Beräkning av triangelns höjd (höger triangelben):
Vi når sedan formeln för beräkning av höjd. Nu ersätter du bara värdet på L och beräknar det.
2. Beräkning av kvadratens diagonal (hypotenus i höger triangel):
Därför är höjden på den liksidiga triangeln BCD 4,33 och det diagonala värdet på kvadraten BCFG är 7,07.
Se också: Pythagoras sats
Frågor om inträdesprov löst
fråga 5
(Cefet / MG - 2016) En drake, vars figur visas nedan, byggdes i form av ABCD-fyrsidan, och
. pinnen
av draken skär stången
vid sin mittpunkt E, bildar en rät vinkel. Vid konstruktionen av denna drake, måtten på
används är 25 cm respektive 20 cm och mätningen av
är lika med
av måttet på
.
Under dessa förhållanden är måttet på , i cm, är lika med
a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.
Rätt alternativ: c) 55.
När vi tittar på figuren i frågan ser vi att DE-segmentet, som vi vill hitta, är detsamma som BD-segmentet genom att subtrahera BE-segmentet.
Så som vi vet att segmentet BE är lika med 20 cm måste vi hitta värdet på segmentet BD.
Observera att problemet ger oss följande information:
Så för att hitta måttet på BD måste vi veta värdet på segmentet AC.
Eftersom punkt E delar segmentet i två lika delar (mittpunkt), då . Därför är det första steget att hitta CE-segmentmåttet.
För att hitta CE-mätningen identifierade vi att triangeln BCE är en rektangel, att BC är hypotenusen och BE och CE är benen, som visas i bilden nedan:
Vi kommer sedan att tillämpa Pythagoras sats för att hitta måttet på benet.
252 = 202+ x2
625 = 400 + x2
x2 = 625 - 400
x2 = 225
x = √225
x = 15 cm
För att hitta kragen kunde vi också ha observerat att triangeln är Pythagorean, det vill säga måtten på dess sidor är flera nummer av måtten på triangeln 3, 4, 5.
Således, när vi multiplicerar 4 med 5 har vi kragen (20) och om vi multiplicerar 5 med 5 har vi hypotenusen (25). Därför kunde det andra benet bara vara 15 (5. 3).
Nu när vi har hittat EC-värdet kan vi hitta de andra måtten:
AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm
Därför är måttet på är lika med 55 cm.
Se också: Pythagoras
fråga 6
(IFRS - 2017) Tänk på en liksidig triangel med en 5√3 ܿ݉ sida. Vad är höjden respektive arean för denna triangel?
Rätt alternativ: e) 7,5 cm och 75√3 / 4 cm2
Låt oss först rita den liksidiga triangeln och plotta höjden, som visas i bilden nedan:
Observera att höjden delar basen i två segment av samma mått, eftersom triangeln är liksidig. Observera också att triangeln ACD i figuren är en rätt triangel.
Således, för att hitta höjdmåttet, kommer vi att använda Pythagoras sats:
Att känna till höjdmätningen kan vi hitta området genom formeln:
fråga 7
(IFRS - 2016) I figuren nedan är värdet på x respektive y
Rätt alternativ: a) 4√2 och √97.
För att hitta värdet på x, låt oss tillämpa Pythagoras sats på den högra triangeln som har sidor lika med 4 cm.
x2 = 42 + 42
x2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm
För att hitta värdet på y kommer vi också att använda Pythagoras sats, nu med tanke på att ett ben mäter 4 cm och det andra 9 cm (4 + 5 = 9).
y2 = 42 + 92
y2 = 16 + 81
y = √97 cm
Därför är värdet på x respektive y 4√2 respektive √97.
fråga 8
(Apprentice Sailor - 2017) Titta på figuren nedan.
I figuren ovan finns en likbent triangel ACD, där segmentet AB mäter 3 cm, den ojämna sidan AD mäter 10√2 cm och segmenten AC och CD är vinkelräta. Därför är det korrekt att ange att BD-segmentet mäter:
a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm
Rätt alternativ: d) √149 cm
Med tanke på informationen som presenteras i problemet bygger vi figuren nedan:
Enligt figuren finner vi att för att hitta värdet på x kommer det att vara nödvändigt att hitta måttet på den sida vi kallar a.
Eftersom triangeln ACD är en rektangel kommer vi att tillämpa Pythagoras sats för att hitta värdet på benet a.
Nu när vi vet värdet på a kan vi hitta värdet på x genom att beakta rätt triangel BCD.
Observera att benet BC är lika med mätningen av benet minus 3 cm, det vill säga 10 - 3 = 7 cm. Genom att tillämpa Pythagoras sats på denna triangel har vi:
Därför är det korrekt att ange att BD-segmentet mäter √149 cm.
fråga 9
(IFRJ - 2013) Idrottsgården på Arrozal Campus i Federal Institute är rektangulär, 100 m lång och 50 m bred, representerad av ABCD-rektangeln i denna figur.
Alberto och Bruno är två studenter som spelar sport på gården. Alberto går från punkt A till punkt C längs rektangelns diagonal och återvänder till startpunkten längs samma väg. Bruno börjar från punkt B, går runt gården helt, går längs sidolinjerna och återvänder till startpunkten. Således, med tanke på √5 = 2,24, sägs det att Bruno gick mer än Alberto
a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.
Rätt alternativ: c) 76 m.
Rektangelns diagonal delar den i två högra trianglar, hypotenusen är diagonalen och sidorna lika med rektangelns sidor.
Så, för att beräkna det diagonala måttet, låt oss tillämpa Pythagoras sats:
Medan Alberto gick och kom tillbaka, täckte han 224 m.
Bruno täckte ett avstånd som är lika med rektangelns omkrets, med andra ord:
p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m
Därför gick Bruno 76 m längre än Alberto (300 - 112 = 76 m).
fråga 10
(Enem - 2017) För att dekorera ett barns festbord använder en kock en sfärisk melon med en diameter på 10 cm, som kommer att fungera som ett stöd för att spika olika godis. Det tar bort en sfärisk navkapsel från melonen, som visas i figuren, och för att säkerställa stabiliteten hos detta stöd, vilket gör det svårt för melonen att rulla på bordet, kommer chefen att klippa så att radien r på den cirkulära skärsektionen är hårig. minus 3 cm. Å andra sidan vill kocken ha det största möjliga området i regionen där godiset kommer att fixas.
För att uppnå alla sina mål måste chefen klippa melonhatten på en höjd h, i centimeter, lika med
Rätt alternativ: c) 1
Med beaktande av figuren som presenterades i frågan identifierade vi att höjden h kan hittas genom att minska måttet på segmentet OA från måttet på sfärens radie (R).
Sfärens radie (R) är lika med halva dess diameter, vilket i detta fall är lika med 5 cm (10: 2 = 5).
Så vi måste hitta värdet på OA-segmentet. För detta kommer vi att överväga OAB-triangeln som representeras i figuren nedan och tillämpa Pythagoras sats.
52 = 32 + x2
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm
Vi kan också hitta värdet på x direkt och notera att det är den pythagoreiska triangeln 3,4 och 5.
Så värdet på h kommer att vara lika med:
h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm
Därför bör kocken klippa melonlocket på en höjd av 1 cm.
fråga 11
(Enem - 2016 - 2: a ansökan) Boccia är en sport som spelas på banor, som är plana och plana terrängar, begränsade av periferi träplattformar. Målet med denna sport är att kasta boule, som är bollar av syntetiskt material, för att placera dem så nära bolim som tidigare är en mindre kula, helst av stål lanserades. Figur 1 illustrerar en boccia-boll och en bolim som spelades på en bana. Antag att en spelare har kastat en boll, med en radie på 5 cm, som har lutat sig mot bollin, med en radie på 2 cm, som visas i figur 2.
Betrakta punkt C som centrum för bollen och punkt O som centrum för bollen. Det är känt att A och B är de punkter vid vilka boccia-bollen respektive bollin berör banans mark och att avståndet mellan A och B är lika med d. Vad är förhållandet mellan d och bolimens radie under dessa förhållanden?
Rätt alternativ: e) √10
För att beräkna värdet på avståndet d mellan punkterna A och B, låt oss bygga en figur som förenar mitten av de två sfärerna, som visas nedan:
Observera att den blå prickiga figuren är formad som en trapets. Låt oss dela den här trapetsen, som visas nedan:
Genom att dela trapets får vi en rektangel och en rätt triangel. Triangelns hypotenus är lika med summan av boccia-kulans radie med bolimens radie, det vill säga 5 + 2 = 7 cm.
Mätningen av ett av benen är lika med d och mätningen av det andra benet är lika med mätningen av segmentet CA, vilket är boccia-kulans radie minus bolimens radie (5 - 2 = 3) .
På detta sätt kan vi hitta måttet på d, genom att tillämpa Pythagoras sats på denna triangel, det vill säga:
72 = 32 - av2
d2 = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10
Därför kommer förhållandet mellan avståndet d och bolim att ges av:.
fråga 12
(Enem - 2014) Dagligen förbrukar en bostad 20 160 Wh. Denna bostad har 100 solceller rektangulär (enheter som kan omvandla solljus till elektrisk energi) som mäter 6 cm x 8 centimeter. Var och en av dessa celler producerar hela dagen 24 Wh per centimeter diagonalt. Ägaren till det här huset vill producera exakt samma mängd energi per dag som hans hus förbrukar. Vad ska den här ägaren göra för honom för att uppnå sitt mål?
a) Ta bort 16 celler.
b) Ta bort 40 celler.
c) Lägg till 5 celler.
d) Lägg till 20 celler.
e) Lägg till 40 celler.
Rätt alternativ: a) Ta bort 16 celler.
Först måste du ta reda på vad varje produkts energiproduktion är. För det måste vi hitta måttet på rektangelns diagonal.
Diagonalen är lika med hypotenusen i triangeln med ben lika med 8 cm och 6 cm. Vi beräknar sedan diagonalen genom att tillämpa Pythagoras sats.
Vi observerar emellertid att triangeln i fråga är Pythagoras, som är en multipel av triangeln 3,4 och 5.
På detta sätt kommer mätningen av hypotenusen att vara lika med 10 cm, eftersom sidorna av den Pythagoreiska triangeln 3,4 och 5 multipliceras med 2.
Nu när vi känner till diagonalmätningen kan vi beräkna energin som produceras av de 100 cellerna, dvs:
E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh
Eftersom den förbrukade energin är lika med 20 160 Wh, måste vi minska antalet celler. För att hitta detta nummer kommer vi att göra:
24 000 - 20 160 = 3840 Wh
Genom att dividera detta värde med den energi som produceras av en cell, hittar vi antalet som ska reduceras, det vill säga:
3 840: 240 = 16 celler
Därför måste ägarens handling för att han ska nå sitt mål vara att ta bort 16 celler.
För att lära dig mer, se även: Trigonometriövningar