Komplexa nummer: definition, operationer och övningar

Komplexa nummer är siffror som består av en verklig och en imaginär del.

De representerar uppsättningen av alla ordnade par (x, y), vars element tillhör uppsättningen av reella tal (R).

Uppsättningen av komplexa tal indikeras av Ç och definieras av verksamheten:

• Jämlikhet: (a, b) = (c, d) ↔ a = c och b = d
• Tillägg: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
• Multiplikation: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Imaginary Unit (i)

Indikeras av brevet iär den imaginära enheten det ordnade paret (0, 1). Snart:

i. i = -1 ↔ i² = –1

Således, i är kvadratroten av –1.

Algebraisk form av Z

Den algebraiska formen av Z används för att representera ett komplext tal med formeln:

Z = x + yi

Var:

• x är ett reellt tal som anges med x = Re (Z), som kallas verklig del av z.
• y är ett reellt tal som anges med y = Im (Z), som kallas imaginär del av Z.

Komplext antal konjugat

Konjugatet av ett komplext tal indikeras med z, definieras av z = a - bi. Således utbyts tecknet på dess imaginära del.

Så om z = a + bi, så är z = a - bi

När vi multiplicerar ett komplext tal med dess konjugat blir resultatet ett reellt tal.

Jämställdhet mellan komplexa siffror

Att vara två komplexa nummer Z₁ = (a, b) och Z₂ = (c, d), de är lika när a = c och b = d. Detta beror på att de har identiska verkliga och imaginära delar. Således:

a + bi = c + di När a = c och b = d

Operationer med komplexa nummer

Med komplexa tal är det möjligt att utföra addition, subtraktion, multiplikation och delning. Kolla in definitionerna och exemplen nedan:

Tillägg

Z₁ + Z₂ = (a + c, b + d)

I algebraisk form har vi:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Exempel:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2-4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Subtraktion

Z₁ - Z₂ = (a - c, b - d)

I algebraisk form har vi:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

Exempel:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4 - 2) + i (–5 –1)
2 - 6i

Multiplikation

(a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

I algebraisk form använder vi den fördelande egenskapen:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (jag² = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

Exempel:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i²
8 - 14i + 15
23 - 14i

Division

Z₁/ Z₂ = Z₃
Z₁ = Z₂. Z₃

I ovanstående jämlikhet, om Z₃ = x + yi, vi har:

Z₁ = Z₂. Z₃

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

Genom systemet med okända x och y har vi:

cx - dy = a
dx + cy = b

Snart,

x = ac + bd / c² + d²
y = bc - ad / c² + d²

Exempel:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i²/–i²
5 - 2i

Entréexamensövningar med feedback

1. (UF-TO) Överväg i den imaginära enheten av komplexa tal. Värdet uttrycket (i + 1)⁸ é:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

Se Svar

Alternativ c: 16

2. (UEL-PR) Det komplexa talet z som kontrollerar ekvationen iz - 2w (1 + i) = 0 (w indikerar att konjugatet av z) är:

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
e) z = 1 - i

Se Svar

Alternativ e: z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) Tänk på det komplexa talet z = cos π / 6 + i sin π / 6. värdet på z³ + Z⁶ + Z¹² é:

där
b) ½ + √3 / 2i
c) i - 2
d) i
e) 2i

Se Svar

Alternativ d: i

Kolla in fler frågor med kommenterad upplösning i Övningar på komplexa nummer.

Videolektioner

För att utöka dina kunskaper om komplexa tal, titta på videon "Introduktion till komplexa nummer"

Introduktion till komplexa tal

Historia av komplexa nummer

Upptäckten av komplexa nummer gjordes på 1500-talet tack vare matematikern Girolamo Cardano (1501-1576).

Det var dock först på 1700-talet som dessa studier formaliserades av matematikern Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Detta var ett stort steg framåt i matematiken, eftersom ett negativt tal har en kvadratrot, som fram till upptäckten av komplexa tal ansågs omöjlig.

För att lära dig mer, se även

• Numeriska uppsättningar
• Polynom
• irrationella siffror
• Första grads ekvation
• Potentiering och strålning