Allt om andragradens ekvation

DE andra grads ekvation får sitt namn för att det är en polynomekvation vars högsta grad sikt är kvadrat. Även kallad en kvadratisk ekvation, representeras den av:

yxa² + bx + c = 0

I en 2: a grads ekvation, x är det okända och representerar ett okänt värde. redan texterna De, B och ç kallas ekvationskoefficienter.

Koefficienterna är reella tal och koefficienten De den måste skilja sig från noll, annars blir den en 1-graders ekvation.

Att lösa en andra grads ekvation innebär att man letar efter verkliga värden på x, som gör ekvationen sant. Dessa värden kallas ekvationens rötter.

En kvadratisk ekvation har högst två verkliga rötter.

Kompletta och ofullständiga gymnasieekvationer

2: a grads ekvationer komplett är de som har alla koefficienter, det vill säga a, b och c skiljer sig från noll (a, b, c ≠ 0).

Till exempel 5x ekvationen² + 2x + 2 = 0 är komplett eftersom alla koefficienter inte är noll (a = 5, b = 2 och c = 2).

En kvadratisk ekvation är Ofullständig när b = 0 eller c = 0 eller b = c = 0. Till exempel 2x-ekvationen² = 0 är ofullständigt eftersom a = 2, b = 0 och c = 0

Lösta övningar

1) Bestäm värdena för x som gör ekvationen 4x² - 16 = 0 sant.

Lösning:

Den givna ekvationen är en ofullständig 2-graders ekvation, med b = 0. För ekvationer av denna typ kan vi lösa genom att isolera x. Således:

Observera att kvadratroten på 4 kan vara 2 och - 2, eftersom dessa två kvadratiska siffror resulterar i 4.

Så rötterna till 4x ekvationen² - 16 = 0 är x = - 2 och x = 2

2) Hitta värdet på x så att arean på rektangeln nedan är lika med 2.

Lösning:

Området för rektangeln hittas genom att multiplicera basen med höjden. Så vi måste multiplicera de givna värdena och lika med 2.

(x - 2). (x - 1) = 2

Låt oss multiplicera alla termer:

x. x - 1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
x² - 1x - 2x + 2 = 2
x² - 3x + 2 - 2 = 0
x² - 3x = 0

Efter att ha löst multiplikationerna och förenklingarna hittar vi en ofullständig kvadratisk ekvation, med c = 0.

Denna typ av ekvation kan lösas genom faktorisering, eftersom den x upprepas i båda termerna. Så vi ska bevisa det.

x. (x - 3) = 0

För att produkten ska vara lika med noll, antingen x = 0 eller (x - 3) = 0. Men ersätter x med noll är sidmätningarna negativa, så detta värde kommer inte att vara svaret på frågan.

Så vi har att det enda möjliga resultatet är (x - 3) = 0. Lösa denna ekvation:

x - 3 = 0
x = 3

På detta sätt kan värdet på x så att arean på rektangeln är lika med 2 är x = 3.

Bhaskara formel

När en kvadratisk ekvation är klar använder vi Bhaskara formel för att hitta ekvationens rötter.

Formeln presenteras nedan:

Delta-formel

I Bhaskaras formel visas den grekiska bokstaven Δ (delta), som kallas ekvationens diskriminerande, eftersom det enligt dess värde är möjligt att veta antalet rötter som ekvationen kommer att ha.

För att beräkna delta använder vi följande formel:

Steg för steg

För att lösa en andra gradens ekvation med Bhaskaras formel måste vi följa dessa steg:

Första steget: Identifiera koefficienterna De, B och ç.

Villkoren för ekvationen visas inte alltid i samma ordning, så det är viktigt att veta hur man identifierar koefficienterna, oavsett vilken sekvens de är i.

koefficienten De är det tal som går med x², O B är numret som medföljer x det är ç är den oberoende termen, det vill säga antalet som visas utan x.

Andra steget: Beräkna deltaet.

För att beräkna rötterna är det nödvändigt att veta deltaets värde. För att göra detta ersätter vi bokstäverna i formeln med koefficientvärdena.

Vi kan från deltavärdet veta i förväg antalet rötter som ekvationen i andra graden kommer att ha. Det vill säga om värdet på Δ är större än noll (Δ > 0) kommer ekvationen att ha två verkliga och distinkta rötter.

Om tvärtom är delta mindre än noll (Δ) kommer ekvationen inte att ha verkliga rötter och om den är lika med noll (Δ = 0) kommer ekvationen att bara ha en rot.

3: e steget: Beräkna rötterna.

Om värdet som hittas för delta är negativt behöver du inte göra fler beräkningar och svaret är att ekvationen inte har några verkliga rötter.

Om delta-värdet är lika med eller större än noll, måste vi ersätta alla bokstäver med deras värden i Bhaskaras formel och beräkna rötterna.

Övning löst

Bestäm rötterna för 2x-ekvationen² - 3x - 5 = 0

Lösning:

För att lösa detta måste vi först identifiera koefficienterna, så vi har:
a = 2
b = - 3
c = - 5

Nu kan vi hitta deltavärdet. Vi måste vara försiktiga med teckens regler och komma ihåg att vi måste lösa förstärkning och multiplikation först och sedan addition och subtraktion.

Δ = (- 3)² - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49

Eftersom det hittade värdet är positivt kommer vi att hitta två olika värden för rötterna. Så vi måste lösa Bhaskaras formel två gånger. Så vi har:

Så rötterna till 2x-ekvationen² - 3x - 5 = 0 är x = 5/2 och x = - 1.

2-graders ekvationssystem

När vi vill hitta värden på två olika okända som samtidigt uppfyller två ekvationer har vi a ekvationssystem.

Ekvationerna som utgör systemet kan vara av första och andra graden. För att lösa denna typ av system kan vi använda substitutionsmetoden och additionsmetoden.

Övning löst

Lös systemet nedan:

Lösning:

För att lösa systemet kan vi använda tilläggsmetoden. I den här metoden lägger vi till liknande termer från den första ekvationen med de från den andra ekvationen. Så vi reducerar systemet till en enda ekvation.

Vi kan fortfarande förenkla alla termer i ekvationen med 3 och resultatet blir ekvationen x² - 2x - 3 = 0. För att lösa ekvationen har vi:

Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16

Efter att ha hittat x-värdena, låt oss inte glömma att vi fortfarande måste hitta y-värdena som gör systemet sant.

För att göra detta, ersätt bara de värden som finns för x i en av ekvationerna.

y₁ - 6. 3 = 4
y₁ = 4 + 18
y₁ = 22

y₂ - 6. (-1) = 4
y₂ + 6 = 4
y₂ = - 2

Därför är värdena som uppfyller det föreslagna systemet (3, 22) och (-1, - 2)

Du kanske också är intresserad av Första examensekvationen.

Övningar

fråga 1

Lös hela kvadratiska ekvationen med Bhaskara's Formula:

2x² + 7x + 5 = 0

Se Svar

Först och främst är det viktigt att observera varje koefficient i ekvationen, därför:

a = 2
b = 7
c = 5

Genom formeln för diskriminering av ekvationen måste vi hitta värdet av Δ.

Detta är för att senare hitta rötterna till ekvationen genom den allmänna formeln eller Bhaskaras formel:

Δ = 7² – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9

Observera att om värdet på Δ är större än noll (Δ > 0) kommer ekvationen att ha två verkliga och distinkta rötter.

Så efter att ha hittat Δ, låt oss ersätta den i Bhaskaras formel:

Därför är värdena för de två verkliga rötterna: x₁ = - 1 och x₂ = - 5/2

Kolla in fler frågor på High School Equation - Övningar

fråga 2

Lös ofullständiga andragradsekvationer:

a) 5x² - x = 0

Se Svar

Först letar vi efter ekvationens koefficienter:

a = 5
b = - 1
c = 0

Det är en ofullständig ekvation där c = 0.

För att beräkna det kan vi använda faktorisering, vilket i detta fall är att sätta x i bevis.

5x² - x = 0
x. (5x-1) = 0
I denna situation kommer produkten att vara lika med noll när x = 0 eller när 5x -1 = 0. Så låt oss beräkna värdet på x:

Så rötterna till ekvationen är x₁ = 0 och x₂ = 1/5.

b) 2x² – 2 = 0

Se Svar

a = 2
b = 0
c = - 2

Det är en ofullständig andragradsekvation, där b = 0, dess beräkning kan göras genom att isolera x:

x₁ = 1 och x₂ = - 1

Så de två rötterna i ekvationen är x₁ = 1 och x₂ = - 1

c) 5x² = 0

Se Svar

a = 5
b = 0
c = 0

I detta fall presenterar den ofullständiga ekvationen koefficienterna b och c lika med noll (b = c = 0):

Därför har rötterna för denna ekvation värdena x₁ = x₂ = 0

För att lära dig mer, läs även:

• Kvadratisk funktion
• Summa och produkt
• olikhet
• irrationella ekvationer
• Partexens ryggrad