Summan av villkoren för en PA

Summan av villkoren för a aritmetisk progression (PA) kan erhållas genom följande formel:

I denna formel, S_Nej representerar summan av villkor, a₁ det är försttermin och den_Nej det är sistatermin av BP i fråga, n är antalet termer som kommer varaläggs ihop. För att lägga till villkoren för en aritmetisk progression, ersätt helt enkelt värdena i denna formel.

Exempel på summering av villkor i en PA

Nedan följer två exempel på hur formel ovan kan användas för att erhålla beloppFrånvillkor av en PANORERA.

→ Exempel 1

Bestäm beloppFrånvillkor av följande PA: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40).

För att använda den givna formeln, notera att:

De₁ = 2

De_Nej = 40

n = 20

De senaste uppgifterna (antal termer) erhölls genom att räkna villkor av PA. Tillämpa dessa data i formeln har vi:

Så, den beloppFrånvillkor av denna PA är 420.

Observera att denna formel endast gäller för aritmetiska framsteg som har en begränsat antal av villkor. Om PA är oändlig kommer det att vara nödvändigt att begränsa antalet termer som kommer att läggas till. När detta inträffar kan det vara nödvändigt att använda annan kunskap om AP för att få den sista termen som ska läggas till.

Se nedan ett exempel på att summera villkoren för en oändlig PA:

→ Exempel 2

Bestäm summan av de första 50 termerna för följande BP: (5, 10, 15, ...).

Observera att detta PANORERAär oändlig, detta bevisas av ellipserna. Den första termen är 5, liksom BP-förhållandet, som 10 - 5 = 5. Eftersom vi vill hitta summan av de första 50 termerna kommer den 50: e termen att representeras av a₅₀. För att ta reda på dess värde kan vi använda formeln PA: s allmänna benämning:

I denna formel är r BP-förhållandet. Ersätter värdena i uttalandet i detta formel, vi kommer att ha:

Att veta att den 50: e termen är 250 kan vi använda formeln beloppFrånvillkor för att få summan av de första 50 termerna (S₅₀) för denna PA:

Gauss och summan av villkoren för en PA

Det sägs att den tyska matematikern Gauss var den första som använde en alternativ metod till Lägg tillvillkor av en PANORERA, utan att behöva lägga till term för term. Senare visade sig hans idé att förenkla stegen vara den formel som användes för att hitta summan.

Berättelsen säger att Gauss som barn hade en lärare som straffade hela klassen: att lägga samman alla siffror från 1 till 100.

Gauss insåg att att lägga till det första numret till det sista, det andra till det näst sista och så vidare gav samma resultat:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101
…

Hans största jobb var att observera att när han lade till två siffror skulle han hitta 50 resultat lika med 101, det vill säga belopp av alla siffror från 1 till 100 kunde hittas genom att göra 50 .101 = 5050.

Resultatet som erhållits av Gauss kan kontrolleras genom formel av summan av villkoren för en AP. Kolla på: