Trigonometri är ett ord av grekiskt ursprung som hänvisar till måttet på tre vinklar. Studier inom detta område av matematik fokuserar på trianglar, som är polygoner som har tre sidor och följaktligen tre vinklar. Först, trigonometri det handlar om att studera några egenskaper och förhållanden för rätt trianglar för att senare relatera mätningarna av sidorna av trianglarna med mätningarna av vinklarna.
Dessa egenskaper och förhållanden utvidgas till alla trianglar genom satser som kallas syndens lag och cosinus lag. Senare observeras några av dessa resultat i trianglar vars sidor är anmärkningsvärda segment av en cirkel, som är känd som en "trigonometrisk cirkel".
DE trigonometri föreslår en stor nyhet. Innan det var det bara möjligt att överväga beräkningar och egenskaper som uteslutande involverar sidor eller uteslutande vinklar i en triangel eller grundläggande förhållanden mellan dessa element. Vid ankomsten är det möjligt att direkt relatera måtten på sidorna av en triangel till mätningen av en av dess vinklar. Det är anmärkningsvärt att förhållandet mellan de anmärkningsvärda sidorna och segmenten inom en triangel också utgör
trigonometri.Innan du går in i begreppet trigonometri, Det är viktigt att veta vilka som är de viktigaste elementen i en rätt triangel. Dessa element anges nedan:
Element av en rätt triangel
Varje rätt triangel kan delas in i två andra högra trianglar, som visas i figuren nedan, och spåra höjden "h" i förhållande till basen "a".
Höjd på den här högra triangeln bildar två 90 ° vinklar med sin bas
Med tanke på triangeln ABD, rektangel i B, är det möjligt att observera följande element:
1 - Sidorna AB och BD kallas sidor och deras mått är c respektive b;
2 - AD-sidan kallas hypotenus och dess mätning är a. Denna sida kommer alltid att vara mittemot 90 ° vinkeln;
3 - BE är höjden på triangeln ABD relativt basen AD och dess mått är h. (kom ihåg att höjden alltid bildar en vinkel på 90 ° med basen i förhållande till den);
4 - AE är den ortogonala projektionen av AB-benet över hypotenusen. Dess mått är m;
5 - ED är den ortogonala projektionen av BD-benet över hypotenusen. Mätningen är n.
Därefter presenterar vi och diskuterar några egenskaper som ses i trigonometri, baserat på elementen i den högra triangeln som exponeras ovan.
Metriska relationer i rätt triangel
De är likheter som relaterar sidor, höjd och ortogonala utsprång av en rätt triangel:
1) c2 = genomsnitt
2) b · c = a · h
3) h2 = m · n
4) b2 = nej
5)2 = b2 + c2 (Pythagoras sats)
Trigonometriska förhållanden eller förhållanden i rätt triangel
Dessa likheter relaterar förhållandena mellan sidorna av en rätt triangel till en av dess spetsiga vinklar. För att göra detta är det nödvändigt att fixa en av de två vinklarna och i rätt triangel observera definitionerna av motsatt sida och intilliggande sida:
Rektangel triangel, markera α-vinkeln
BD är motsatt ben till vinkel α;
AB är intilliggande ben till vinkel α.
Detta är förutsättningarna för att definiera trigonometriska förhållanden. Är de:
→ Sinus av α
sin α = Cathetus mittemot α
Hypotenusa
→ Cosinus av α
cos α = Catheto intill α
Hypotenusa
→ Tangens av α
tg α = Cathetus mittemot α
Catheto intill α
Dessa skäl gäller för alla rätt triangel som har en spetsig vinkel lika med α. Resultatet av dessa uppdelningar är alltid detsamma, oavsett längden på sidan av triangeln, som två trianglar som har två lika stora vinklar, på grund av triangellikhet vinkel-vinkel, har proportionella sidor. Därav följer att förhållandet mellan sidorna är lika.
trigonometrisk cirkel
Även kallad en trigonometrisk cykel eller trigonometrisk cirkel (mer korrekta men mindre vanliga namn), det är en orienterad cirkel med radie 1. På denna omkrets, a rätt triangel, vars vinkel α sammanfaller med ursprunget, så att höjden på denna triangel går från abscissaxeln till cirkelkanten.
Denna höjd sammanfaller med värdet på sinus, eftersom det är motsatt sida till vinkel α. Måttet som går från punkten där höjden möter abscissans axel till ursprunget sammanfaller med sidan intill vinkeln a, det vill säga med värdet av cosinus.
Dessa sammanfall inträffar eftersom hypotenusen alltid är 1, eftersom den är cirkelns radie. Notera dessa egenskaper i bilden nedan:
Cirkel med radie 1, på vilken en höger triangel är placerad för att utvärdera dess egenskaper
Oavsett vilken rätt triangel som är konstruerad på den cirkeln, sidan som sammanfaller med en del av abscissaxeln mäter exakt cosinusvärdet för α och den andra sidan mäter exakt sinus av α.
Trigonometriska funktioner
Med hjälp av den trigonometriska cirkeln är det möjligt att definiera trigonometriska funktioner som relaterar varje element av uppsättningen av reella tal till ett enda element också av uppsättningen av reella tal. Dessa siffror uttrycks emellertid i radianer, vilket är en måttenhet som en funktion av π som används, efter 360 ° i trigonometrisk cirkel, räkningen av grader och följaktligen av domänen och motdomänelementen för en funktion baserad på den kan startas om från noll.
grundläggande relationer
De grundläggande förhållandena mellan trigonometri är:
1) Grundläggande relation 1
Sen2a + cos2α = 1
2) tangent av α
tg α = sin α
cos α
3) Cotangent av α, som är det omvända av tangenten till α
cotg α = cos α
sin α
4) Sekant av α, som är det omvända av cosinus av α
sek α = 1
cos α
5) Cossecant av α, som är det inversa av sinus av α
cossec α = 1
sin α
6) Relation som uppstår 1
tg2a + 1 = sek2α
7) Relation 2
cotg2α + 1 = cossec2α
8) Återkommande relation 3
cotg α = 1
tg a
Av Luiz Paulo Moreira
Examen i matematik
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm