DE aritmetisk progression (AP) är numerisk sekvens som vi använder för att beskriva beteendet hos vissa fenomen i matematik. I en PA, tillväxt eller förfall är alltid konstant, det vill säga, från en term till en annan, kommer skillnaden alltid att vara densamma, och denna skillnad är känd som förnuft.
Som ett resultat av förutsägbart beteende hos en progression, kan du beskriva det från en formel som kallas allmänna termen. Av samma anledning är det också möjligt att beräkna summan av villkoren för en PA med en specifik formel.
Läs också: Geometrisk progression - hur man beräknar?
Vad är en PA?
Att förstå att en PA är en ordningsföljd där skillnaden mellan en term och dess tidigare är alltid konstant, för att beskriva denna utveckling från en formel, måste vi hitta den ursprungliga termen, eller det vill säga den första termen av en progression och dess anledning, som är denna konstanta skillnad mellan villkor.
Generellt sett är PA skriven enligt följande:
(De1, a2,De3, a4,De5, a6,De7, a8)
Den första terminen är a
1 och, från det, till Lägg till Anledningen r, låt oss hitta efterföljande villkor.De1 + r = a2
De2 + r = a3
De3 + r = a4
...
Så, för att skriva den aritmetiska progressionen, måste vi veta vem som är den första termen och varför.
Exempel:
Låt oss skriva de första sex termerna i en AP med vetskap om att dess första term är 4 och dess förhållande är lika med 2. att veta1 = 4 och r = 2, drar vi slutsatsen att denna progression börjar vid 4 och ökar från 2 till 2. Därför kan vi beskriva dess termer.
De1 = 4
De2 = 4+ 2 = 6
De3 = 6 + 2 = 8
De4 = 8 + 2 = 10
De5= 10 + 2 = 12
De6 = 12 + 2 =14
Denna BP är lika med (4,6,8,10,12,14…).
Allmän period för en PA
Att beskriva PA från en formel gör det enkelt för oss att hitta någon av dess termer. För att hitta en term för en AP använder vi följande formel:
DeNej= a1 + r · (n-1) |
N → är termens position;
De1→ är den första termen;
r → anledning.
Exempel:
Hitta det PA: s allmänna benämning (1,5,9,13,…) och 5: e, 10: e och 23: e valperiod.
Första steget: hitta orsaken.
För att hitta förhållandet beräknar du helt enkelt skillnaden mellan två på varandra följande termer: 5 - 1 = 4; då, i det här fallet, r = 4.
2: a steget: hitta den allmänna termen.
Hur vet vi att1= 1 och r = 4, låt oss ersätta i formeln.
DeNej= a1 + r (n - 1)
DeNej= 1 + 4 (n - 1)
DeNej= 1 + 4n - 4
DeNej= 4n - 3 → allmän term för PA
3: e steget: känner till den allmänna termen, låt oss beräkna den 5: e, 10: e och 23: e termen.
5: e termen → n = 5
DeNej= 4n - 3
De5=4·5 – 3
De5=20 – 3
De5=17
10: e termen → n = 10
DeNej= 4n - 3
De10=4·10 – 3
De10=40 – 3
De10=37
23: e termen → n = 23
DeNej= 4n - 3
De23=4·23 – 3
De23=92 – 3
De23=89
Typer av aritmetiska framsteg
Det finns tre möjligheter för en PA. Det kan öka, minska eller konstant.
Växande
Som namnet antyder ökar en aritmetisk progression när, när villkoren ökar ökar deras värde också., det vill säga den andra termen är större än den första, den tredje är större än den andra, och så vidare.
De1
För att detta ska ske måste förhållandet vara positivt, det vill säga en PA ökar om r> 0.
Exempel:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
nedåtgående
Som namnet antyder sjunker en aritmetisk progression när, när villkoren ökar minskar deras värde, det vill säga den andra termen är mindre än den första, den tredje är mindre än den andra, och så vidare.
De1 > den2 > den3 > den4 > …. > denNej
För att detta ska ske måste förhållandet vara negativt, det vill säga en PA ökar om r <0.
Exempel:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Konstant
En aritmetisk progression är konstant när, när villkoren ökar är värdet detsamma., det vill säga den första termen är lika med den andra, som är lika med den tredje, och så vidare.
De1 = den2 = den3 = den4 = …. = aNej
För att en PA ska vara konstant måste förhållandet vara lika med noll, det vill säga r = 0.
Exempel:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
Se också: Produkt av villkoren för en PG - vad är formeln?
Egenskaper hos en PA
1: a fastigheten
Med tanke på valfri mandatperiod för PA genomsnitt aritmetisk mellan dess efterträdare och föregångare är lika med den termen.
Exempel:
Tänk på progressionen (-1, 2, 5, 8, 11) och termen 8. Medelvärdet mellan 11 och 5 är lika med 8, det vill säga summan av efterföljaren med föregångaren av ett tal i PA är alltid lika med detta nummer.
2: a fastigheten
Summan av lika långa termer är alltid lika.
Exempel:
Summan av villkoren för en PA
Antag att vi vill lägga till de sex BP-termerna som visas ovan: (16,13,10,7,4,1). Vi kan helt enkelt lägga till deras villkor - i så fall är det få termer, det är möjligt - men om det är det en längre sträng bör du använda egenskapen. Vi vet att summan av lika långa termer alltid är lika, som vi såg i fastigheten, så om vi utför detta lägg till en gång och multiplicera med hälften av antalet termer, vi har summan av de första sex termerna av PANORERA.
Observera att i exemplet skulle vi beräkna summan av det första och det sista, vilket är lika med 17, multiplicerat med hälften av antalet termer, det vill säga 17 gånger 3, vilket är lika med 51.
Formeln för summan av villkoren för en PA den utvecklades av matematikern Gauss, som insåg denna symmetri i aritmetiska framsteg. Formeln skrivs enligt följande:
sNej → summan av n element
De1 → första termin
DeNej → sista termin
n → antal termer
Exempel:
Beräkna summan av udda tal från 1 till 2000.
Upplösning:
Vi vet att denna sekvens är en PA (1,3,5,…. 1997, 1999). Att utföra summan skulle vara mycket arbete, så formeln är ganska bekväm. Från 1 till 2000 är hälften av siffrorna udda, så det finns 1000 udda siffror.
Data:
n → 1000
De1 → 1
DeNej → 1999
Också tillgång: Summan av en ändlig PG - hur man gör det?
Interpolering av aritmetiska medel
Att känna till två icke-på varandra följande termer av en aritmetisk progression, är det möjligt att hitta alla termer som faller mellan dessa två siffror, vad vi känner till interpolering av aritmetiska medel.
Exempel:
Låt oss interpolera 5 aritmetiska medel mellan 13 och 55. Det betyder att det finns 5 siffror mellan 13 och 55 och de bildar en progression.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
För att hitta dessa siffror är det nödvändigt att hitta orsaken. Vi känner till den första terminen (1 = 13) och även den 7: e termen (7= 55), men vi vet att:
DeNej = den1 + r · (n - 1)
När n = 7 → aNej= 55. Vi vet också värdet av a1=13. Så om vi ersätter den i formeln måste vi:
55 = 13 + r · (7 - 1)
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42: 6
r = 7.
Att veta orsaken kan vi hitta termer som ligger mellan 13 och 55.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
lösta övningar
Fråga 1 - (Enem 2012) - Spelkort är en aktivitet som stimulerar resonemang. Ett traditionellt spel är Solitaire, som använder 52 kort. Inledningsvis bildades sju kolumner med korten. Den första kolumnen har ett kort, den andra har två kort, den tredje har tre kort, den fjärde har fyra kort och så vidare successivt till den sjunde kolumnen, som har sju kort, och vad som utgör högen, vilka är de oanvända korten i kolumner.
Antalet kort som utgör högen är:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Upplösning
Alternativ B.
Låt oss först beräkna det totala antalet kort som användes. Vi arbetar med en AP vars första period är 1 och förhållandet också är 1. Så när man beräknar summan av de 7 raderna är den sista termen 7 och värdet på n är också 7.
Att veta att det totala antalet använda kort var 28 och att det finns 52 kort, utgör högen av:
52 - 28 = 24 kort
Fråga 2 - (Enem 2018) Stadshuset i en liten stad i inredningen beslutar att sätta stolpar för belysning runt längs en rak väg som börjar vid ett centralt torg och slutar vid en gård i området. lantlig. Eftersom torget redan har belysning kommer den första polen att placeras 80 meter från torget, den andra på 100 meter, den tredje på 120 meter och så vidare. successivt, alltid hålla ett avstånd på 20 meter mellan stolparna, tills den sista stolpen placeras på ett avstånd av 1380 meter från fyrkant.
Om staden maximalt kan betala 8 000,00 R $ per inlägg, är det högsta beloppet du kan spendera på att placera dessa inlägg:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520 000,00 BRL.
C) 528 000,00 dollar.
D) 552 000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Upplösning
Alternativ C.
Vi vet att stolpar kommer att placeras var 20: e meter, det vill säga r = 20, och att den första terminen i denna PA är 80. Vi vet också att den sista terminen är 1380, men vi vet inte hur många termer det finns mellan 80 och 1380. För att beräkna detta antal termer, låt oss använda den allmänna termformeln.
Data: aNej = 1380; De1=80; och r = 20.
DeNej= a1 + r · (n-1)
660 inlägg kommer att placeras. Om var och en kostar högst 8 000 dollar, är det högsta beloppet som kan spenderas med placeringen av dessa inlägg:
66· 8 000 = 528 000
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
