Transponerad matris: vad är det, egenskaper, exempel

DE transponerad matris för matris M är matris M^t. det handlar om huvudkontor som vi ska få när vi skriver om matrisen M ändrar positionen för raderna och kolumnerna, omvandla den första raden av M till den första kolumnen av M^t, den andra raden av M i den andra kolumnen av M^t, och så vidare.

Om matris M har m linjer och Nej kolumner, dess transponerade matris, dvs M^t, kommer att ha Nej linjer och m kolumner. Det finns specifika egenskaper för den transponerade matrisen.

Läs också: Vad är en triangulär matris?

Hur erhålls den transponerade matrisen?

En matris A_mxn, vi vet som matrisen transponerad från A till matris A^t_{n x m}. För att hitta den transponerade matrisen, ändra bara positionen av raderna och kolumnerna i matris A. Oavsett vilken som är den första raden i matris A kommer den första kolumnen i transponerad matris A att vara^tkommer den andra raden i matris A att vara den andra kolumnen i matris A^t, och så vidare.

Låt M = (m. Algebraiskt)_{I j})_mxn är den transponerade matrisen för M M^t = (m_ji) _{n x m}.

Exempel:

Hitta matrisen transponerad från matrisen:

Matrix M är en 3x5 matris, så dess transponering blir 5x3. För att hitta den transponerade matrisen gör vi den första raden av matris M den första kolumnen i matris M^t.

Den andra raden av matris M kommer att vara den andra kolumnen i den transponerade matrisen:

Slutligen blir den tredje raden i matris M den tredje kolumnen i matris M.^t:

symmetrisk matris

Baserat på begreppet transponerad matris är det möjligt att definiera vad en symmetrisk matris är. En matris kallas symmetrisk när det är lika med din transponerade matris, dvs med tanke på matrisen M, M = M^t.

För att det ska hända, matrisen måste vara kvadratiskvilket innebär att för att matrisen ska vara symmetrisk måste antalet rader vara lika med antalet kolumner.

Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)

Exempel:

När vi analyserar termerna ovanför huvuddiagonalen och termerna nedanför huvuddiagonalen av matrisen S är det möjligt att se att det finns termer som de är likadana, vilket gör det känt som symmetriskt exakt på grund av matrisens symmetri i förhållande till huvuddiagonalen.

Om vi ​​hittar transponeringen av matrisen S är det möjligt att se att S^t är lika med S.

Som S = S^t, denna matris är en symmetrisk.

Se också: Hur löser man linjära system?

Transponerade matrisegenskaper

Transponerade matrisegenskaper

• 1: a fastigheten: transponeringen av en transponerad matris är lika med själva matrisen:

(M^t)^t = M

• 2: a fastigheten: transponeringen av summan mellan matriserna är lika med summan av transponeringen av var och en av matriserna:

(M + N)^t = M^t + N^t

• 3: e fastigheten: införlivandet av multiplikation mellan två matriser är lika med multiplikationen av transponeringen av var och en av matriserna:

(MN)^t = M^t · N^t

• 4: e fastigheten: O determinant av matrisen är lika med determinanten för den transponerade matrisen:

det (M) = det (M^t)

• 5: e fastigheten: matrisen transponera gånger konstanten är lika med matrisen transponera gånger konstanten:

(kA)^t = kA^t

Omvänd matris

Det inversa matrisbegreppet skiljer sig ganska från det transponerade matrisbegreppet, och det är viktigt att betona skillnaden mellan dem. Den inversa matrisen för en matris M är matrisen M^-1, där produkten mellan M- och M-matriserna^-1 är lika med identitetsmatrisen.

Exempel:

För att lära dig mer om denna typ av matris, läs vår text: Omvänd matris.

motsatt matris

Att vara ett annat fall av en speciell matris, matrisen motsatt matrisen M är matrisen -M. Vi känner till den motsatta matrisen för M = (m_{I j}) matrisen -M = (-m_{I j}). Den motsatta matrisen består av motsatta termer av matris M.

lösta övningar

Fråga 1 - (Cesgranrio) Tänk på matriserna:

Vi betecknar med A^t den transponerade matrisen av A. Matrisen (A^tA) - (B + B^t) é:

Upplösning

Alternativ C

Först hittar vi matrisen A.^t och matris B^t:

Så vi måste:

Nu beräknar vi B + B.^t:

Slutligen beräknar vi skillnaden mellan A · A^t och B + B.^t:

Fråga 2 - (Cotec - anpassad) Givet matriser A och B multiplicerar A · B^t, vi får:

Upplösning

Alternativ C

Först hittar vi den transponerade matrisen för B:

Produkten mellan matriserna A och B^t det är samma som:

Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare

Vill du hänvisa till texten i en skola eller ett akademiskt arbete? Se:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Transponerad matris"; Brasilien skola. Tillgänglig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-transposta.htm. Åtkomst den 28 juni 2021.

Cramer's Rule

Matris, Determinant, Systemupplösning, Cramer's rule, Cramer's rule application, Hur man tillämpar Cramer's rule, Okända för ett system.