Bland sätten att hitta det numeriska värdet på x är en process även känd som hitta rötterna till en ekvation eller hitta lösningen på en ekvation, stå ut: Bhaskara formel det är process för att fylla i rutor. Det senare är fokus för dagens text.
Antalet lösningar på en ekvation ges av dess grad. Därför har första grads ekvationer bara en lösning, tredje grads ekvationer har tre lösningar och kvadratiska ekvationer har två lösningar, även kallade rötter..
Andra grads ekvationer, i sin reducerade form, kan skrivas enligt följande:
yxa2 + bx + c = 0
fyrkantig avslutningsmetod
I vilket fall är den kvadratiska ekvationen en perfekt kvadratisk trinom
Andra grads ekvationer som härrör från en anmärkningsvärd produkt är kända som perfekt fyrkantigt trinomial. För att hitta sina rötter kommer vi att använda metoden som exemplifieras nedan:
Exempel: Beräkna rötterna för x-ekvationen2 + 6x + 9 = 0.
Observera att koefficienten b är 6 = 2-3. För att skriva den i form av en anmärkningsvärd produkt, kolla bara om c = 32, vilket är sant, eftersom 32 = 9 = c. På detta sätt kan vi skriva:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Observera att en anmärkningsvärd produkt är produkten mellan två lika polynomer. När det gäller denna ekvation kommer vi att ha:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
En produkt är bara lika med noll när en av dess faktorer är lika med noll. För (x + 3) (x + 3) = 0 är det därför nödvändigt att (x + 3) = 0 eller (x + 3) = 0. Därav de två lika resultaten för x-ekvationen2 + 6x + 9 = 0, som är: x = - 3 eller x = - 3.
Kortfattat: för att lösa x-ekvationen2 + 6x + 9 = 0, skriv:
x2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = - 3 eller x = - 3
I vilket fall är den kvadratiske ekvationen inte en perfekt fyrkantig trinomial
En ekvation av den andra i vilken koefficient b och koefficient c inte uppfyller de relationer som upprättats ovan är inte ett perfekt fyrkantigt trinomium. I det här fallet kan lösningsmetoden som markeras ovan användas med tillägg av några steg. Notera följande exempel:
Exempel: Beräkna rötterna för x-ekvationen2 + 6x - 7 = 0.
Observera att denna ekvation inte är en perfekt fyrkantig trinomial. För att det ska vara så kan vi använda följande åtgärder:
Observera att b = 2-3, så i den första medlemmen är uttrycket som ska visas x2 + 6x + 9, för i detta uttryck är b = 2 · 3 och c = 32.
För denna "transformation", lägg till 32 på de två medlemmarna i denna ekvation, "skicka" 7 till den andra delen, utför de möjliga operationerna och observera resultaten:
x2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
x2 + 6x + 32 = 32 + 7
x2 + 6x + 9 = 9 + 7
x2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√ (x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 eller x + 3 = - 4
Det sista steget måste delas in i två ekvationer, eftersom roten till 16 antingen kan vara 4 eller - 4 (detta förekommer bara i ekvationer. Om man frågar vad roten till 16 är är svaret bara 4). Så det är nödvändigt att hitta alla möjliga resultat. Fortlöpande:
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
x + 3 = 4 eller x + 3 = - 4
x = 4 - 3 eller x = - 4 - 3
x = 1 eller x = - 7
I vilket fall är koefficienten "a" inte lika med 1
De tidigare fallen är avsedda för kvadratiska ekvationer där koefficienten "a" är lika med 1. Om koefficienten "a" skiljer sig från 1, delar du bara hela ekvationen med värdet "a" och fortsätter med beräkningarna på samma sätt som i föregående fall.
Exempel: Beräkna 2x rötter2 + 16x - 18 = 0
Observera att a = 2. Så dela hela ekvationen med 2 och förenkla resultaten:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
x2 + 8x - 9 = 0
När detta är klart upprepar du procedurerna i föregående fall.
x2 + 8x - 9 = 0
x2 + 8x - 9 + 16 = 0 + 16
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√ (x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 eller x + 4 = –5
x = 5 - 4 eller x = - 5 - 4
x = 1 eller x = - 9
Anmärkningsvärda produkter och andragradsekvationer: Ursprunget till Square Completion Method
Kvadratiska ekvationer liknar de anmärkningsvärda produkterna summa kvadrat och kvadrat av skillnaden.
Summan i kvadrat är till exempel en summa av två monomier i kvadrat. Kolla på:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Den första medlemmen av ovanstående jämlikhet är känd som anmärkningsvärd produkt och den andra hur perfekt fyrkantigt trinomial. Det senare är mycket som en ekvation av andra graden. Kolla på:
Perfekt fyrkantigt trinomial: x2 + 2kx + k2
Andra gradens ekvation: yxa2 + bx + c = 0
På det sättet, om det finns något sätt att skriva en kvadratisk ekvation som en anmärkningsvärd produkt, kanske finns det också ett sätt att hitta dina resultat utan att behöva använda formeln Bhaskara.
För att göra detta, notera att a = 1, b = 2 · k och c = k i den anmärkningsvärda produkten ovan2. På detta sätt är det möjligt att skriva ekvationer som uppfyller dessa krav i form av en anmärkningsvärd produkt.
Så titta på koefficienterna i ekvationen. Om ”a” skiljer sig från 1, dividerar du hela ekvationen med värdet “a”. I annat fall observera koefficienten "b". Det numeriska värdet på hälften av denna koefficient måste vara lika med det numeriska värdet på kvadratroten av koefficienten "c". Matematiskt, med tanke på ekvationsaxen2 + bx + c = 0, om a = 1 och dessutom:
B = c
2
Så du kan skriva den här ekvationen så här:
yxa2 + bx + c = (x + B) = 0
2
Och dess rötter kommer att vara - B och + b.
2 2
Därför all teori som används för att beräkna rötterna till kvadratiska ekvationer med metoden för att fylla i kvadrater.
Av Luiz Paulo Moreira
Examen i matematik
Vill du hänvisa till texten i en skola eller ett akademiskt arbete? Se:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Metod för att fylla i rutor"; Brasilien skola. Tillgänglig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm. Åtkomst den 28 juni 2021.
