Ett polynomekvation kännetecknas av att ha en polynom lika med noll. Det kan karaktäriseras av graden av polynom, och ju större denna grad, desto större svårighetsgrad att hitta sin lösning eller rot.
Det är också viktigt, i detta sammanhang, att förstå vad den grundläggande satsen för algebra är, som säger att varje polynomekvation har minst en komplex lösning, med andra ord: en ekvation av grad en kommer att ha minst en lösning, en ekvation av grad två kommer att ha minst två lösningar, och så vidare.
Läs också: Vilka är klasserna av polynom?
Vad är en polynomekvation
En polynomekvation kännetecknas av att ha en polynom lika med noll, sålunda varje uttryck av typ P (x) = 0 är en polynomekvationdär P (x) är ett polynom. Se nedan det allmänna fallet med en polynomekvation och några exempel.
ÖvervägaNej, an -1, a n -2,..., The1, a0 och x riktiga nummeroch n är ett positivt heltal, följande uttryck är en polynomekvation av grad n.
- Exempel
Följande ekvationer är polynom.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x - 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Liksom polynomer har polynomekvationer sin grad. För att bestämma graden av en polynomekvation, hitta bara den högsta effekten vars koefficient skiljer sig från noll. Därför är ekvationerna för de föregående artiklarna respektive:
a) Ekvationen är från fjärde graden:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Ekvationen är från gymnasium:5x2 – 3 = 0.
c) Ekvationen är från första graden:6x – 1 = 0.
d) Ekvationen är från tredje graden: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Sluta inte nu... Det finns mer efter reklam;)
Hur löser jag en polynomekvation?
Metoden för att lösa en polynomekvation beror på dess grad. Ju större ekvationsgrad, desto svårare är det att lösa det. I den här artikeln visar vi lösningsmetoden för polynomekvationer av första examen, andra grad och bisquare.
Polynomekvationen för första graden
En polynomekvation av första graden beskrivs av a grad 1 polynom. Så vi kan skriva en ekvation av den första graden i allmänhet enligt följande.
Tänk på två reella tal De och B med en ≠ 0 är följande uttryck en polynomekvation av den första graden:
ax + b = 0
För att lösa denna ekvation måste vi använda ekvivalensprincip, det vill säga allt som drivs på ena sidan av jämlikhet måste också drivas på den andra sidan. För att bestämma lösningen av en ekvation av första graden måste vi isolera det okända. För detta är det första steget att eliminera B på vänster sida av jämställdheten, och sedan subtraheraåror b på båda sidor av jämställdheten.
ax + b - B = 0 - B
ax = - b
Observera att värdet av det okända x inte är isolerat, koefficienten a måste elimineras från vänster sida av jämställdheten, och för det, låt oss dela båda sidor med De.
- Exempel
Lös ekvationen 5x + 25 = 0.
För att lösa problemet måste vi använda ekvivalensprincipen. För att underlätta processen kommer vi att utelämna skrivningen av operationen till vänster om jämställdheten motsvarande då för att säga att vi kommer att "skicka" numret till andra sidan, ändra tecknet (invers operation).
Lär dig mer om att lösa denna typ av ekvation genom att komma åt vår text: Första grads ekvation med en okänd.
Polynomekvationen för andra graden
En polynomekvation av andra graden har karaktären av a grad två polynom. Så betrakta a, b och c reella tal med a ≠ 0. En andra grads ekvation ges av:
yxa2 + bx + c = 0
Din lösning kan bestämmas med metoden för bhaskara eller genom factoring. Om du vill veta mer om ekvationer av denna typ, läs: Ekvhandling av sandra grau.
→ Bhaskara-metoden
Med Bhaskaras metod ges dess rötter med följande formel:
- Exempel
Bestäm lösningen av ekvationen x2 - 3x + 2 = 0.
Observera att koefficienterna för ekvationen är a = 1, b = - 3 och c = 2. Vi måste ersätta dessa värden i formeln:
→ Faktorisering
Observera att det är möjligt att faktorisera uttrycket x2 - 3x + 2 = 0 med tanken på polynomfaktorisering.
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Lägg märke till nu att vi har en produkt som är lika med noll, och en produkt är lika med noll endast om en av faktorerna är lika med noll, så vi måste:
x - 2 = 0
x = 2
eller
x - 1 = 0
x = 1
Se att vi hittade lösningen på ekvationen med två olika metoder.
bi-fyrkantig ekvation
DE bisquare ekvation det är en särskilt fall av en polynomekvation av den fjärde graden, normalt skulle en fjärde graders ekvation skrivas i form:
yxa4 + bx3 + låda2 + dx + e = 0
där siffrorna a B C D och och är riktiga med en ≠ 0. En fjärde graders ekvation betraktas som bisquare när koefficienterna b = d = 0, det vill säga ekvationen är i form:
yxa4 + låda2 + och = 0
Se i exemplet nedan hur man löser denna ekvation.
- Exempel
Lös x-ekvationen4 - 10x2 + 9 = 0.
För att lösa ekvationen ska vi använda följande okända förändring, och när ekvationen är bisquare, kommer vi att göra den förändringen.
x2 = s
Från bi-kvadratiska ekvationen, notera att x4 = (x2)2 och därför måste vi:
x4 - 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
P2 - 10p + 9 = 0
Se att vi nu har en polynomekvation av andra graden och att vi kan använda Bhaskaras metod, så här:
Vi måste dock komma ihåg att i början av övningen gjordes en okänd förändring, så vi måste tillämpa det värde som finns i bytet.
x2 = s
För p = 9 måste vi:
x2 = 9
x ’= 3
eller
x ’’ = - 3
För p = 1
x2 = 1
x ’= 1
eller
x ’’ = - 1
Därför är lösningsuppsättningen för bisquare-ekvationen:
S = {3, –3, 1, –1}
Läs också: Briot-Ruffinis praktiska anordning - uppdelning av polynom
Fundamental Theorem of Algebra (TFA)
Den grundläggande satsen för algebra (TFA), bevisad av Gauss 1799, säger att varje polynomekvation enligt följande har minst en komplex rot.
Roten till en polynomekvation är dess lösning, det vill säga det okända värdet är det som gör jämlikheten sann. Till exempel har en första grads ekvation en redan bestämd rot, liksom en andra gradens ekvation, som har minst två rötter, och en bisquare, som har minst fyra rötter.
lösta övningar
fråga 1 - Bestäm värdet på x som gör jämställdheten sann.
2x - 8 = 3x + 7
Upplösning
Observera att för att lösa ekvationen är det nödvändigt att organisera det, det vill säga lämna alla okända på vänster sida av jämställdheten.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
Genom ekvivalensprincipen kan vi multiplicera båda sidor av jämställdheten med samma antal, och eftersom vi vill ta reda på värdet på x kommer vi att multiplicera båda sidor med –1.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
fråga 2 - Marcos har 20 $ mer än João. Tillsammans lyckas de köpa två par sneakers, kostar R $ 80 per par och utan några pengar kvar. Hur många reais har John?
Upplösning
Tänk på att Mark har x reais, eftersom John har 20 reais mer, så han har x + 20.
Märken → x reals
João → (x + 20) reais
hur köpte de två par sneakers som kostar 80 reais vardera, så om vi sätter ihop delarna av var och en måste vi:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
Därför hade Mark 70 reais och João 90 reais.
av Robson Luiz
Mattelärare
