Triangulär matris: typer, determinant, övningar

En matris är triangulär när element ovanför huvuddiagonalen eller element under huvuddiagonalen alla är noll. Det finns två möjliga klassificeringar för denna typ av matris: den första är när elementen ovanför huvuddiagonalen är noll, vilket sätter upp en lägre triangulär matris; den andra är när elementen under huvuddiagonalen är noll, vilket ställer in en övre triangulär matris.

För att beräkna determinanten för en triangulär matris med Sarrus regel, utför du bara den huvudsakliga diagonala multiplikationen, eftersom de andra multiplikationerna alla kommer att vara lika med noll.

Läs också: Array - vad det är och befintliga typer

Den triangulära matrisen är ett speciellt fall av matrisen.

Triangulära matristyper

För att förstå vad en triangulär matris är är det viktigt att komma ihåg vad huvuddiagonalen för en kvadratmatris är, vilket är matrisen som har samma antal rader och kolumner. Matrisens huvuddiagonal är termerna a._{I j}, där i = j, det vill säga de är de termer där radnumret är lika med kolumnnumret.

Exempel:

Termerna på huvuddiagonalen är markerade med rött.

Förstå vad en fyrkantig matris är och vad dess huvudsakliga diagonal är, låt oss veta vad en triangulär matris är och dess klassificeringar. Det finns två möjliga klassificeringar för den triangulära matrisen: Denedre triangulär matris och övre triangulär matris.

• Lägre triangulär matris: inträffar när alla termer ovanför huvuddiagonalen är lika med noll och termerna under huvuddiagonalen är riktiga nummer.

Numeriskt exempel:

• Övre triangulär matris: inträffar när alla termer under huvuddiagonalen är lika med noll och termerna ovanför huvuddiagonalen är reella tal.

Numeriskt exempel:

diagonal matris

Den diagonala matrisen är en särskilt fall av triangulär matris. I det är de enda termerna som är nollfria de som finns i huvuddiagonalen. Termerna ovan eller under huvuddiagonalen är alla lika med noll.

Numeriska exempel på diagonal matris:

Determinant of a triangular matrix

Givet en triangulär matris vid beräkning av determinanten för denna matris med Sarrus regel, kan du se att alla multiplikationer är lika med noll, förutom multiplicering av termen för huvuddiagonalen.

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃ + den₁₂ · A₂₃ · 0 + den₁₃ · 0 · 0 - (The₁₃ ·De₂₃ ·0 + den₁₁ · A₂₃ · 0 + den₁₂ · 0· A₃₃)

Observera att i alla termer utom den första är noll en av faktorerna och allt multiplikation med noll är lika med noll, så:

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃

Observera att detta är produkten mellan termerna i huvuddiagonalen.

Oavsett antalet rader och kolumner som en triangulär matris har, dess determinant kommer alltid att vara lika med produkten av villkoren för huvuddiagonalen.

Se också: Determinant - funktion tillämpad på fyrkantiga matriser

Triangulära matrisegenskaper

Den triangulära matrisen har några specifika egenskaper.

• 1: a fastigheten: determinanten för en triangulär matris är lika med produkten av termerna för huvuddiagonalen.
• 2: a fastigheten: produkten mellan två triangulära matriser är en triangulär matris.
• 3: e fastigheten: om en av termerna för huvuddiagonalen för den triangulära matrisen är lika med noll, kommer dess determinant att vara lika med noll och följaktligen kommer den inte att vara inverterbar.
• 4: e fastigheten: den inversa matrisen för en triangulär matris är också en triangulär matris.
• 5: e fastigheten: summan av två övre triangulära matriser är en övre triangulär matris; på samma sätt är summan av två nedre triangulära matriser en lägre triangulär matris.

lösta övningar

1) Med tanke på matrisen A är värdet på determinanten för A:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Upplösning

Alternativ d.

Denna matris är lägre triangulär, så dess determinant är multiplikationen av termer på huvuddiagonalen.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) Bedöm följande uttalanden.

I → Varje kvadratmatris är triangulär.

II → Summan av en övre triangulär matris med en nedre triangulär matris är alltid en triangulär matris.

III → Varje diagonal identitetsmatris är en triangulär matris.

Rätt ordning är:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Upplösning

Alternativ d.

I → Falskt, för varje triangulär matris är kvadratisk, men inte varje kvadratmatris är triangulär.

II → Falsk, eftersom summan mellan en övre och nedre triangulär matris inte alltid resulterar i en triangulär matris.

III → Sant, eftersom termerna som skiljer sig från diagonalen är lika med noll.

Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare

Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm