ТХЕ комбинаторна анализа је област студија математике повезана са правилима бројања. Почетком 18. века, проучавање игара које укључују коцкице и карте изазвало је велики развој теорија бројања.
Дело комбинаторике омогућава реализацију све тачнијих бројања.Основни принцип бројања (ПФЦ), факторијел и типови груписања примери су концепата који се проучавају у комбинаторној анализи, који поред пружања веће прецизност помаже неразвој других области математике, као нпр Тхе вероватноћа и О. Њутнов бином.
Прочитајте и ви: аранжман или цкомбинација?
Чему служи комбинаторна анализа?
Комбинаторичка анализа повезана је са процесом бројања, односно проучавање ове области математике омогућава нам да развијемо алате који нам помажу у извођењу рачуна ефикасније. Погледајмо типични проблем бројања, погледајте:
Пример 1
Размотримо три града А, Б и Ц повезана аутопутевима Р.1, Р.2, Р.3, Р.4 и Р.5. Утврдите на колико начина можемо стићи од града А до града Ц преко града Б.
Имајте на уму да морамо напустити град А и отићи до града Б, а тек онда можемо путовати до града Ц, па хајде да анализирамо све
могућности да изведе догађај пратећи аутопутеве.1. начин: Р.1 → Р.3
2. начин: Р.1 → Р.4
3. начин: Р.1 → Р.5
4. начин: Р.2 → Р.3
5. начин: Р.2 → Р.4
6. начин: Р.2 → Р.5
Дакле, имамо шест различитих начина да дођемо од града А до града Ц преко града Б. Међутим, имајте на уму да је предложени проблем релативно једноставан и да је извршена анализа била мало напорна. Дакле, од сада ћемо проучавати софистицираније алате који омогућавају решавање проблема са много мање посла.
Основни принцип бројања (ПФЦ)
Размотрите догађај Е који се може извести у н независних и узастопних корака. Сада узмите у обзир да је број могућности за извођење првог корака једнак П1, такође замислите да је број могућности за извођење друге фазе П.2, и тако даље, док не дођемо до последње фазе, која има П.не могућности за извођење.
Основни принцип бројања (ПФЦ) наводи да укупне могућности одржавања догађаја Е дато је са:
П.1 · П.2 ·… · П.не
Дакле, зброј се даје производом могућности сваког од корака који чине догађај Е. Имајте на уму да је за утврђивање укупних могућности одржавања догађаја Е неопходно знати укупне могућности сваке од етапа.
Пример 2
Поновимо пример 1 користећи основни принцип бројања.
Размотрите слику у примеру 1.
Имајте на уму да се догађај може изводити у две фазе, прва иде из града А у град Б, а друга из града Б у град Ц. Да бисмо извели први корак, имамо две могућности (путеви Р1 и Р.2), а за извођење друге фазе имамо три могућности (Р.3, Р.4 и Р.5).
1. корак → две могућности
2. фаза → три могућности
Према основном принципу бројања, морамо умножити укупне могућности сваког корака.
2 · 3
6
Према томе, да бисмо из града А прешли град Ц преко града Б, имамо укупно шест могућности.
Пример 3
На колико начина се могу поделити три олимпијске медаље у конкуренцији од планински бициклизам са пет такмичара?
Организовање поделе медаља догађај је који се може извести у три фазе. Први корак је анализа укупних могућности ко ће добити златну медаљу, тј. пет могућности.
Други корак је анализа могућности ко ће добити сребрну медаљу, тј. четири, пошто прво место не улази у овај избор. Трећи корак је анализа укупних могућности ко ће добити бронзану медаљу, тј. три, пошто су прва два већ изабрана.
1. корак → пет могућности
2. фаза → четири могућности
3. фаза → три могућности
Дакле, према основном принципу бројања имамо:
5 · 4 · 3
60 могућности
Погледајте такође: Принцип бројања адитива - обједињавање једног или више скупова
Фацториал
О. факторијел је начин разградити природни број. Да бисте израчунали факторијел броја, само га помножите са свим претходницима до броја 1. Факторијал је представљен узвиком - „!“.
Погледајте неке примере како израчунати факторијел неких бројева.
Тхе) 2! (чита: два фактора)
За израчунавање, само помножите број који прати факторијел са свим његовим претходницима до броја 1, овако:
2! = 2 ·1 = 2
Б) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ц) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
д) 1! = 1
Формално можемо написати фактор на следећи начин:
Размотримо природни број н> 2. На факторијел н означава се н! и даје се множењем н са свим његовим позитивним целобројним претходницима.
не! = н (н - 1) · (н - 2) · (н - 3) ·… · 1
Обратите пажњу на следеће чињенице:
4! и 5!
Сада извршите развој оба:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Имајте на уму да је у развоју 5! појављује се развој 4!. Тако да можемо написати 5! тако:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Пример 4
Израчунај факторијел секзавијати:
Погледајте 15! је био развијен до 13!. Такође имајте на уму да се у бројиоцу разломка елементи множе, тако да можемо „исећи“ 13!, Што резултира са само 15 · 14.
Посматрање:0! = 1
Врсте груписања
Неки проблеми с бројањем су сложенији и једноставнији за решавање помоћу нових алата. Ови алати се називају груписањем јер елементе групишу на различите начине, што олакшава процес бројања. Ове групе су: једноставно распоређивање, пермутација и једноставна комбинација.
једноставан аранжман
Размотримо скуп са н различитих елемената. назовимо то аранжман од н елемената преузетих од п до п, било које секвенце поредане п, и различитих елемената изабраних међу елементима.
Дакле, број подскупова формираних од п елемената биће распоред од н елемената преузетих од п до п. Формула која нам омогућава израчунавање броја аранжмана даје:
Пример 5
Израчунај вредност А.4,2 + А5,2.
Да бисмо израчунали вредност израза, одредимо сваки од низова, а затим те вредности заједно додајте. Да бисмо одредили вредност сваког низа, морамо заменити вредности у формули.
Имајте на уму да су н = 4 и п = 2, оба су замењена у формули. Сада морамо израчунати вредност низа од пет елемената узетих два по два.
Дакле, морамо:
ТХЕ4,2 + А5,2
12 + 20
32
Пример 6
Колико различитих четвороцифрених природних бројева може да се формира помоћу бројева 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9?
У овом задатку можемо користити једноставан распоред, од 2435 = 4235. Видећемо да их у неким случајевима редослед елемената не разликује и самим тим не можемо да користимо распоред.
Будући да желимо да одредимо укупан број бројева који се могу формирати, имајте на уму да је укупан број елемената једнак осам, и желимо да их групишемо четири по четири, па:
једноставна пермутација
Размотримо скуп са н елемената. назовимо то једноставна пермутација од н елемената сваки распоред од н елемената узетих н до н. Дакле, морамо:
Да не би било забуне између концепата, означимо једноставну пермутацију н елемената са Пне. Дакле, морамо:
П.не = н!
Пример 7
Израчунај П.7 и П.3.
Да бисмо израчунали ове пермутације, морамо заменити вредности у формули. Погледајте:
П.7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
П.7 = 5040
П.3 = 3 · 2 · 1
П.3 = 6
Пример 8
Утврдите колико анаграма може бити у речи Бразил.
Под анаграмом разумемо све могуће транспозиције слова речи, на пример, „Лисарб“ је а анаграм речи Бразил. Да бисмо одредили број анаграма, морамо израчунати пермутацију слова у речи, па морамо:
П.6 = 6!
П.6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
П.6 = 720
Према томе, реч Бразил има 720 анаграма.
Такође приступите: Пермутација са поновљеним елементима
једноставна комбинација
Размотримо скуп А са н различитих елемената. назовимо то комбинација од н елемената узетих п до п било који подскуп А који чине п елементи. Формула за израчунавање комбинације дата је:
Пример 9
Израчунајте комбинацију 10 елемената узетих од четири до четири.
Пример 10
Колико четвороугла да ли можемо различито да формирамо темена у тачкама А, Б, Ц, Д, Е и Ф?
Имајте на уму да је четвороугао АБЦД у овом контексту исти као и четвороугао ЦДБА, па би требало да користимо комбинацију, а не низове. Имамо укупно шест бодова и желимо да их комбинујемо четири по четири, овако:
Стога можемо формирати 15 различитих четвороугла.
Комбинаторичка анализа и вероватноћа
Студија о вероватноћа је уско повезана са проучавањем комбинаторне анализе.. У неким проблемима са вероватноћом потребно је одредити простор узорка који се састоји од скупа који чине сви могући исходи датог догађаја.
У неким случајевима, простор за узорке Е је написан врло директно, као у флип-у поштене кованице, где су могући исходи главе или репови и означени су на следећи начин:
Е = {главе, репови}
Сада замислите следећу ситуацију: матрица се баца три пута узастопно и ми смо заинтересовани за одређивање простора за узорке за овај експеримент. Имајте на уму да записивање свих могућности више није једноставан задатак, морамо да користимо основни принцип бројања (ПФЦ). Догађај се може извести у три корака, у сваком од њих имамо шест могућности, јер матрица има шест лица, попут ове:
1. фаза → шест могућности
2. фаза → шест могућности
3. фаза → шест могућности
Према ПФЦ-у, имамо свеукупне могућности:
6 · 6 · 6
216
Тако можемо рећи да је узорак простора овог догађаја 216.
Видите да је за проучавање вероватноће потребно је основно знање комбинаторне анализе., јер је, без одређивања простора узорка експеримента, немогуће решити велику већину вежби вероватноће. За више детаља о овом пољу математике прочитајте текст:Вероватноћа.
решене вежбе
Питање 1 - Одредити број анаграма речи замак. Затим одредите број анаграма који почињу словом ц.
Резолуција
Да бисмо одредили број анаграма, морамо израчунати пермутацију броја слова, овако:
П.7 = 7!
П.7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
П.7 = 5040
Реч има 5040 анаграма. Сада, да бисмо одредили број анаграма који почињу словом ц, морамо поправити слово и израчунати анаграм осталих, погледајте:
Ц__ __ __ __ __ __
Када поправимо слово ц, имајте на уму да је остало шест поља за израчунавање пермутације, овако:
П.6 = 6!
П.6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
П.6 = 720
Дакле, имамо 720 анаграма речи замак који почињу словом ц.
питање 2 - У учионици је пет мушкараца и седам жена. Колико група од три мушкарца и четири жене може да се формира?
Резолуција
Прво, уверите се да редослед одабира људи није важан, на пример група коју је формирао Јоао, Маркос и Хосе је иста група коју су формирали Маркос, Жоао и Хосе, зато комбинацију морамо користити за прорачун.
Израчунајмо одвојено број група које могу да формирају мушкарци и жене и Онда помножимо те резултате, јер се свака група мушкараца може мешати са сваком групом мушкараца. Жене.
мушкарци
Укупно → 5
Количина у групи → 3
Жене
Укупно → 7
Количина у групи → 4
Према томе, укупан број група које могу формирати три мушкарца и четири жене је:
Ц5,3 · Ц7,4
10 · 35
350
написао Робсон Луиз
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
