Када проучавамо полиедре, наилазимо на Чврсте материје Платона као посебан случај. Да би био Платонова чврста материја, полиедар мора да испуњава три услова:
бити конвексан;
сва лица имају једнаку количину ивица;
сви врхови су крајеви истог броја ивица.
Неколико филозофа је настојало да разуме порекло Универзума, а Платон је то видео просторна геометрија објашњење за ово порекло. Платонове чврсте материје су:
тетраедар;
хексаедар;
октаедар;
додекаедар;
икосаедар.
Сви они се сматрају правилним полигонима, као њихови ивице и њихова лица су подударни. Платонове чврсте материје поштују Ојлерова веза, који наводи број темена, лица и ивица по формули В + Ф = А + 2.
Прочитајте такође: Које су разлике између равних и просторних фигура?
правилни полиедри
Потрага за правилним полиедарима се понавља, јер је с њима лакше радити. Полиедар је класификован као редован ако је има сва лица обликована од истог полигон подударни. Када се то догоди, углови а ивице су такође подударне.
Платонове чврсте материје су посебни случајеви правилних полиедра. На пример, коцка, која је Платонова чврста маса, има сва лица формирана од подударних квадрата.
Од Платонових пет чврстих тела, три су формирана троугластим лицима са подударним троугловима, једно чине квадратне површине, а друго петоугаоне странице.Које су Платонове чврсте материје?
Платон био грчки филозоф и математичар. Дао је велики допринос математици и, покушавајући да разуме Универзум, повезане чврсте материје са елементима природе.
Да би био платонска чврста материја, полиедар мора бити правилна и конвексна. Постоји само пет чврстих тела које задовољавају ову дефиницију. То су: тетраедар, коцка или хексаедар, октаедар, икосаедар и додекаедар.
Однос између елемента природе и чврстог тела био је:
тетраедар - ватра
хексаедар - Земља
октаедар - ваздух
икосаедар - Вода
додекаедар - Цосмо или Универсе
Да би био чврст Платон, О. полиедар такође треба да буде конвексан, сва лица морају имати исти број ивица, а сви врхови морају бити крајеви истог броја ивица.
Погледајте такође: Калдрма - геометријске чврсте материје формиране од равних и полигоналних површина
правилни тетраедар
Правилни тетраедар је полиедар који има 4 лица, што оправдава његово име (тетра = четири). сва су ти лица настали троугловима. У облику је као пирамида троугаоне основе и позната је као пирамида правилне основе, јер су јој сва лица подударна. Има укупно 4 лица (у формату једнакостранични троугао), 4 темена и 6 ивица.
Ако желите да направите свој властити редовни тетраедар, само преузмите и одштампајте ПДФ овде.
Правилна коцка или хексаедар
правилни хексаедар има 6 лица, што оправдава његово име (хек = шест). твоја лица су сва квадрат. Такође је позната и као коцка и има 6 лица, 12 ивица и 8 темена.
Ако желите да направите сопствену коцку, само преузмите и одштампајте ПДФ овде.
Оцтахедрон
Као и претходни, име је повезано са бројем лица, отуда и октаедром има 8 лица. Ова лица имају облик једнакостраничног троугла. Октаедар има 8 лица, 12 ивица и 6 темена.
Ако желите да направите свој октаедар, само преузмите и одштампајте ПДФ овде.
икосаедар
Икосаедар има укупно 20 лица. Њихова лица су обликована попут једнакостраничних троуглова, баш попут октаедра. Укупно има 20 лица, 30 ивица и 12 темена.
Ако желите да направите свој властити икосаедар, само преузмите и одштампајте ПДФ овде.
Додекаедар
Додекаедар је последња од Платонових чврстих тела. Има укупно 12 лица и сматра се хармоничније међу пет платонских чврстих тела. Њихова лица имају облик петоугаоника. Садржи 12 лица, 30 ивица и 20 темена.
Ако желите да направите свој додекаедар, само преузмите и одштампајте ПДФ овде.
Такође приступите: Цилиндар - геометријска чврста супстанца коју чине две паралелне кружне површине и у различитим равни
Ојлерова формула
Еулерови полиедри су конвексни полиедри. Еулер је развио формулу која повезује број лица (Ф), број темена (В) и број ивица (А) у конвексном полиедру. Све Платонове чврсте супстанце задовољавају Еулерову релацију.
В + Ф = А + 2 |
Анализирајући формулу, тада је могуће израчунати број врхова из броја лица и ивица или број лица из броја врхова и ивица, коначно, познајући два његова елемента, увек је могуће пронаћи и трећи.
Пример:
Знајући да полиедар има 8 темена и 12 ивица и да је правилан, колико лица има?
Знамо да је В + Ф = А + 2
В = 8
А = 12
8 + Ф = 12 + 2
8 + Ф = 14
Ф = 14 - 8
Ф = 6
решене вежбе
Питање 1 - (Енем 2016) Платонове чврсте материје су конвексни полиедри чија су лица подударна са једним полигоном правилни, сви врхови имају једнак број упадних ивица и сваку ивицу деле само две. лица. Они су важни, на пример, у класификацији облика минералних кристала и у развоју различитих предмета. Као и сви конвексни полиедри, и Платонове чврсте материје поштују Еулерову релацију В - А + Ф = 2, где су В, А и Ф број темена, ивица и лица полиедра.
Какав је однос између броја врхова и броја лица у кристалу, чији је облик Платоновог полиедра троугластог лица?
А) 2В - 4Ф = 4
Б) 2В - 2Ф = 4
В) 2В - Ф = 4
Д) 2В + Ф = 4
Е) 2В + 5Ф = 4
Резолуција
Алтернатива Ц. Пошто су лица троугласта, знамо да за свако лице постоје 3 ивице. Међутим, да бисмо повезали број ивица са бројем лица, важно је запамтити да је свака ивица садржана на два лица, јер сусрет два лица чини ивицу, тако да у овом случају можемо повезати ивицу са лицем по:
Имајући Еулерову релацију као В - А + Ф = 2 и замењујући А, морамо:
Питање 2 - Из алтернатива испод, просудите која од њих није Платонова чврста материја.
А) Коцка
Б) Регуларни тетраедар
В) Икосаедар
Д) Додекаедар
Е) Конус
Резолуција:
Алтернатива Е. Од алтернатива, једина која не одговара Платоновој маси је Шишарка.
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm