Множење матрице: како израчунати, примери

ТХЕ ммножење матрице се врши путем алгоритма који захтева много пажње. Да би постојао производ између матрице А и матрице Б, потребно је да број од колоне даје први седиште, у случају А, једнако је броју линије даје Понедељак седиште, у случају Б.

Из множења између матрица могуће је разумети шта је матрица идентитета, а која је неутрални елемент множења матрице, а шта је инверзна матрица матрице М, што је матрица М^-1 чији је производ М од М.^-1 једнак је матрици идентитета. Такође је могуће помножити матрицу са реалним бројем - у овом случају множимо сваки од чланова из седиште по броју.

Прочитајте такође: Шта је троугласта матрица?

услов постојања

Множење између матрица је процес који захтева много пажње.

Да бисте помножили две матрице, прво је потребно проверити услов постојања. Да би производ постојао, број колона у првој матрици мора бити једнак броју редова у другој матрици. Даље, резултат множења је матрица која има исти број редова као прва матрица и исти број колона као друга матрица.

На пример, производ АБ између матрица А_3к2 и Б._2к5 постоји јер је број колона у А (2 колоне) једнак броју редова у Б (2 реда), а резултат је матрица АБ_3к5. Већ производ између Ц матрица_3к5 и матрица Д._2к5 не постоји, јер Ц има 5 колона, а Д има 3 реда.

Како израчунати производ између две матрице?

Да бисте извршили множење матрице, потребно је следити неке кораке. Направићемо пример множења алгебарске матрице А_2к3 матрицом Б._3к2

Знамо да производ постоји, јер матрица А има 3 колоне, а матрица Б 3 реда. Резултат множења А · Б назваћемо Ц. Поред тога, такође знамо да је резултат Ц матрица._2к2, јер матрица А има 2 реда, а матрица Б 2 колоне.

Да би се израчунао умножак матрице А._2к3 и матрица Б._3Икс2, следимо неколико корака.

Прво ћемо пронаћи сваки од члана матрице Ц._2к2:

Да пронађемо појмове, хајде редове матрице А увек повежите са колонама матрице Б:

ц₁₁ → 1. ред А. и 1. колона Б.
ц₁₂ → 1. ред А. и 2. колона Б.
ц₂₁ → 2. ред А. и 1. колона Б.
ц₂₂ → 2. ред А. и 2. колона Б.

Сваки од појмова израчунавамо множењем појмова у реду А и појмова у колони Б. Сада морамо додати ове производе, почев од ц_11:

1. ред А.
1. колона Б.

ц₁₁ = Тхе₁₁· Б.₁₁ + Тхе₁₂· Б.₂₁+ Тхе₁₃· Б.₃₁

рачунајући ц₁₂:

1. ред А.
2. колона Б.

ц₁₂ = Тхе₁₁· Б.₁₂ + Тхе₁₂· Б.₂₂+Тхе₁₃· Б.₃₂

рачунајући ц₂₁:

2. ред А.
1. колона Б.

ц₂₁ = Тхе₂₁· Б.₁₁ + Тхе₂₂· Б.₂₁+Тхе₂₃· Б.₃₁

израчунавање појма ц₂₂:

2. ред А.
2. колона Б.

ц₂₂ = Тхе₂₁· Б.₁₂ + Тхе₂₂· Б.₂₂+Тхе₂₃· Б.₃₂

Дакле, матрицу Ц чине термини:

Пример:

Израчунајмо множење између матрица А и Б.

То знамо у А._2к2 и Б._2к3, број колона у првом је једнак броју редова у другом, тако да производ постоји. Тако ћемо направити Ц = А · Б и знамо да је Ц._2к3.

Множећи се, морамо:

Погледајте такође: Шта је транспонована матрица?

идентитет матрица

У множењу између матрица постоје неки посебни случајеви, као што су матрица идентитета, која је неутрални елемент множења између матрица.. Матрица идентитета је квадратна матрица, односно број редова је увек једнак броју колона. Даље, само су чланови дијагонале у њој једнаки 1, а сви остали чланови једнаки су нули. Када помножимо матрицу М са матрицом идентитета И_не, Морамо да:

М · И_не = М.

Матрице идентитета од реда 2 до реда 5

Пример:

Шта је инверзна матрица?

С обзиром на матрицу М, знамо је као инверзну матрицу М. матрица М.^-1чији производ М · М^-1 једнако à матрица идентитета И._не. Да би матрица имала инверзу, она мора бити квадратна и њена одредница мора се разликовати од 0. Погледајмо примере матрица које су инверзне:

Израчунавајући производ А · Б, морамо:

Имајте на уму да производ између А и Б генерисане матрице И₂. Кад се то догоди, кажемо да је Б инверзна матрица А. Да бисте сазнали више о овој врсти матрице, прочитајте: Инверзна матрица.

Множење матрице реалним бројем

За разлику од множења између матрица, постоји и множење матрица са један Прави број, што је много једноставнија операција за проналажење решења.

Даје се матрица М, множење матрице са реалним бројем к је једнак матрици кМ. Да бисте пронашли ову матрицу кМ, доста помножи све чланове у матрици са константом к.

Пример:

ако к = 5 и узимајући у обзир матрицу М испод, пронађите матрицу 5М.

Множење:

решене вежбе

Питање 1 - (Унитау) Дане матрице А и Б,

вредност елемента в₁₁ матрице Ц = АБ је:

А) 10.

Б) 28.

В) 38.

Д) 18.

Е) 8.

Резолуција

Алтернатива А.

Како желимо појам в₁₁, помножимо појмове у првом реду и А са појмовима у првој колони Б.

рачунање в₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Питање 2 - (Енем 2012) Ученик је двомесечне оцене неких својих предмета регистровао у табели. Приметио је да су нумерички уноси у табели формирали матрицу 4 × 4 и да је могао да израчуна годишње просеке за ове дисциплине користећи производ матрица. Сви тестови су имали исту тежину, а табела коју је добио приказана је испод.

Да би добио ове просеке, умножио је матрицу добијену из табеле матрицом:

Резолуција

Алтернатива Е.

Просек није ништа више од збира елемената подељеног бројем елемената. Имајте на уму да постоје 4 белешке у ретку, па би просек био збир тих белешки подељен са 4. Дељење са 4 исто је што и множење са разломак ¼. Такође, матрица оцена је 4к4 матрица, тако да морамо да помножимо са матрицом 4к1, односно има 4 реда и 1 колону, да бисмо пронашли матрицу која има просек оцена.

Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике

Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm