Сматра да је полиномска једначина испод где су сви коефицијенти Тхенесу цели бројеви:
ТхенеИксне + тхен-1Иксн-1 + тхен-2Иксн-2 +… +2Икс2 + тхе1к + а0 = 0
О. Теорија рационалних корена гарантује да ако ова једначина признаје рационалан број П./Шта као корен (со П.
, Шта 
и мдц (п, к) = 1), онда Тхе0 је дељиво са П. и Тхене је дељиво са Шта.
Коментари:
1º) Теорема о рационалним коренима не гарантује да полиномска једначина има корене, али ако постоје, теорема нам омогућава да идентификујемо сви корени једначине;
2º) ако Тхене= 1 а остали коефицијенти су цели бројеви, једначина има само целобројне корене.
3°) ако к = 1 а постоје рационални корени, то су целина и делитељи Тхе0.
Примена теорије о рационалним коренима:
Искористимо теорему да пронађемо све корене полиномске једначине 2к4 + 5к3 - 11к2 - 20к + 12 = 0.
Прво, идентификујмо могуће рационалне корене ове једначине, односно корене облика П./Шта. Према теореми, Тхе0 је дељиво са П; на овај начин, како Тхе0 = 12, затим могуће вредности П. су {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Аналогно томе морамо
Тхене је дељиво са Шта и Тхене = 2, онда Шта може имати следеће вредности: {± 1, ± 2}. Стога, поделом вредности П. пер Шта, добијамо могуће вредности П./Шта корени једначине: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Да бисмо потврдили да су вредности које смо пронашли заиста корен полиномске једначине, заменимо сваку вредност уместо Икс једначине. Кроз алгебарски рачун, ако полином резултира нула, па је супституисани број заправо корен једначине.
2к4 + 5к3 - 11к2 - 20к + 12 = 0
За к = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
За к = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
За к = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
За к = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
За к = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
За к = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
За к = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
За к = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
За к = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
За к = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
За к = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
За к = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
За к = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
За к = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
За к = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
За к = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Према томе, корени полиномске једначине 2к4 + 5к3 - 11к2 - 20к + 12 = 0 су {– 3, – 2, ½, 2}. Кроз теорема декомпозиције полинома, ову једначину бисмо могли написати као (к + 3). (к + 2). (к - ½). (к - 2)= 0.
Ауторка Аманда Гонцалвес
Дипломирао математику
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm
