О запремина скраћеног конуса је простор који заузима ово округло тело. Пошто пресек конуса полупречника Р производи мањи конус полупречника р и скраћени конус, запремине ова три чврста тела су повезане.
Прочитај и ти: Како израчунати дебло пирамиде
Резиме о запремини скраћеног конуса
- Конус полупречника Р пресечен попречно у висини Х основне равни је подељен на два геометријска тела: конус полупречника р То је конус трупа.
- Главни елементи скраћеног конуса су висина Х, најмања основа полупречника р и већу основу полупречника Р.
- Запремина скраћеног конуса је разлика између запремине конуса полупречника Р и запремине конуса полупречника р.
- Формула за запремину скраћеног конуса је:
\(В_т=\фрац{1}{3} πх (Р^2+р^2+Рр)\)
Видео лекција о запремини скраћеног конуса
Који су елементи скраћеног конуса?
Елементи скраћеног конуса формираног од пресека десног конуса полупречника Р су:
- споредна основа – круг радијуса р, добијен у пресеку конуса полупречника Р.
- већа база – кружна основа конуса полупречника Р .
- Висина (х) – растојање између равни основа.
- Генератрик – сегмент са крајевима на обима који граниче основе.
А слика испод представља елементе скраћеног конуса. Имајте на уму да су мала и велика база паралелне.
Формула запремине дебла конуса
Затим, хајде да изведемо формулу за запремину фрустума висине Х, мањи полупречник основе р и полупречник највеће основе Р.
Сматрајте да је попречни пресек конуса полупречника Р и висине Х1 производи две чврсте материје:
- конус муње р и висина х2 То је
- висока шишарка дебла Х .
схватити да \(Х_1=Х_2+х\).
Запремину конуса полупречника Р (који ћемо назвати већи конус) представљаће ВР; запремина конуса полупречника р (који ћемо назвати мањим конусом), од Вр; а запремина крњег конуса Вт. дакле:
\(В_Р=В_р+В_т\)
Напоменути да:
- \( В_Р=\фрац{1}{3} πР^2 Х_1=\фрац{1}{3} πР^2 (Х_2+х)\)
- \( В_р=\фрац{1}{3}1/3 πр^2 Х_2\)
Посматрање: ВР и Вр су запремине чуњева. Да бисте прегледали ово питање, кликните овде.
Овако:
\(В_Р=В_р+В_т\)
\(\фрац{1}{3} πР^2 (Х_2+х)=1/3 πр^2 Х_2+В_т\)
\(В_т=\фрац{1}{3} πР^2 (Х_2+х)-1/3 πр^2 Х_2\)
\(В_т=\фрац{1}{3} πР^2 Х¬_2+1/3 πР^2 х-1/3 πр^2 Х_2\)
\(В_т=\фрац{1}{3} π(Р^2 Х_2+Р^2 х-р^2 Х_2 )\)
\(В_т=\фрац{1}{3} π[Р^2 х+(Р^2-р^2 ) Х_2 ]\)
Термин Х2 одговара висини мањег конуса. Повезујући висине чуњева са одговарајућим полупречникима основа, можемо добити формулу за запремину дебла која зависи само од елемената дебла (Р, р То је Х).
Повезивање полупречника и висине већег конуса (Р и Х1 ) са полупречником и висином мањег конуса (р и Х2), имамо следећу пропорцију:
\(\фрац{Р}{Х_1}=\фрац{р}{Х_2}\)
\(\фрац{Р}{Х_2+х}=\фрац{р}{Х_2}\)
\(РХ_2=рХ_2+рх\)
\(Х_2=\фрац{рх}{Р-р}\)
Ускоро, можемо преписати запремину пртљажника Вт као што следи:
\(В_т=\фрац{1}{3} π[Р^2 х+(Р^2-р^2 ) Х_2 ]\)
\(В_т=\фрац{1}{3} πх[Р^2х+(Р^2-р^2) \фрац{рх}{Р-р}]\)
\(В_т=\фрац{1}{3} πх[Р^2+(Р^2-р^2) \фрац{р}{Р-р}]\)
\(В_т=\фрац{1}{3} πх[Р^2+(Р+р)(Р-р) \фрац{р}{Р-р}]\)
\(В_т=\фрац{1}{3} πх[Р^2+(Р+р) р]\)
Овако, Формула за запремину скраћеног конуса је:
\(В_т=\фрац{1}{3}πх (Р^2+р^2+Рр)\)
Прочитајте такође: Формуле запремине различитих геометријских тела
Како израчунати запремину скраћеног конуса?
Да бисте израчунали запремину скраћеног конуса, само замените мере висине, полупречника мање основе и полупречника веће базе у формули.
- Пример: Колика је запремина, у кубним центиметрима, скраћеног конуса у коме је полупречник веће основе Р = 5 цм, полупречник мање основе је р = 3 а висина је х = 2 цм? (Користите π=3 )
Заменивши податке у формули, имамо:
\(В_т=\фрац{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(В_т=2⋅(49)\)
\(В_т=98 цм³\)
Решене вежбе о запремини крњег конуса
Питање 1
Лонац је у облику скраћеног конуса са највећим полупречником основе Р = 8 цм, најмањим полупречником основе р = 4 и висина х = 2 цм. Запремина овог лонца, у цм³, је:
а) 48 пи
б) 64 пи
ц) 112 пи
г) 448 пи
д) 1344 пи
Резолуција
Заменивши податке у формули, имамо:
\(В_т=\фрац{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(В_т=4π⋅(112)\)
\(В_т=448 π\)
Алтернатива Д
питање 2
(Енем 2021) Једна особа је купила шољу да попије супу, као што је илустровано.
Познато је да је 1 цм³ = 1 мЛ и да је врх шоље круг пречника (Д) од 10 цм, а основа је круг пречника (д) од 8 цм.
Даље, познато је да висина (х) ове шоље мери 12 цм (раздаљина између центра горњег и доњег круга).
Користите 3 као апроксимацију за π.
Колики је запремински капацитет, у милилитрима, ове шоље?
а) 216
б) 408
в) 732
г) 2196
д) 2928
Резолуција
Облик шоље је скраћени конус у коме је врх већа основа. Такође, Р=5, р = 4 цм и Х = 12. Ускоро:
\(В_т=\фрац{1}{3} πх (Р^2+р^2+Рр)\)
\(В_т=\фрац{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(В_т=12⋅(61)\)
\(В_т=732 цм³\)
Како је 1 цм³ = 1 мЛ, имамо 732 цм³ = 732 мЛ.
Алтернатива Ц
Извори:
ДАНТЕ, Л. Р. Математика: контекст и апликације - Средња школа. 3. ед. Сао Пауло: Атика, 2016. в.3.
ДОЛЦЕ, О; ПОМПЕО, Ј. Не. Основи основне математике, Вол 10: Просторна геометрија - позиција и метрика. 7 ед. Сантос: Актуелно, 2013.
Извор: Бразил школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
