А идентитет матрица је посебна врста штаб. Знамо као матрицу идентитета Ин квадратна матрица реда н која има све чланове на дијагонали једнаке 1 и чланове који не припадају главној дијагонали једнаке 0. Матрица идентитета се сматра неутралним елементом множења, односно ако помножимо матрицу М према матрици идентитета, као резултат налазимо саму матрицу М.
Погледајте такође: Шта је детерминанта матрице?
Резиме о матрици идентитета
Матрица идентитета је квадратна матрица са главним дијагоналним елементима једнаким 1 и са осталим елементима једнаким 0.
Постоје матрице идентитета различитог реда. Ми представљамо матрицу идентитета реда н од И н.
Матрица идентитета је неутрални елемент множења матрице, тј. \( А\цдот И_н=А.\)
Производ квадратне матрице и њене инверзне матрице је матрица идентитета.
Шта је матрица идентитета?
Матрица идентитета је а посебна врста квадратне матрице. Квадратна матрица је позната као матрица идентитета ако има све елементе на главној дијагонали једнаке 1, а све остале елементе једнаке 0. Затим, у свакој матрици идентитета:
➝ Типови матрице идентитета
Постоје матрице идентитета различитог реда. наредба н представља Ин. Погледајмо испод неке матрице других редова.
Наруџба 1 матрица идентитета:
\(И_1=\лево[1\десно]\)
Матрица идентитета реда 2:
\(И_2=\лево[\почетак{матрица}1&0\\0&1\\\енд{матрица}\десно]\)
Матрица идентитета реда 3:
\(И_3=\лево[\почетак{матрица}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\енд{матрица}\десно]\)
Матрица идентитета реда 4:
\(И_4=\лево[\почетак{матрица}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\енд{матрица}\десно]\)
Матрица идентитета реда 5:
\(И_5=\лево[\бегин{матрица}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\енд{матрица}\десно]\)
Сукцесивно, можемо писати матрице идентитета различитог реда.
Својства матрице идентитета
Матрица идентитета има важну особину, јер је неутрални елемент множења између матрица. То значи да свака матрица помножена са матрицом идентитета једнака је самој себи. Дакле, с обзиром на матрицу М реда н,имамо:
\(И_н\цдот М=М\цдот И_н=М\)
Још једно важно својство матрице идентитета је да производ квадратне матрице и њеног инверзна матрица је матрица идентитета. Задата је квадратна матрица М реда н, производ М његовим инверзом је дат са:
\(М\цдот М^{-1}=И_н\)
Прочитајте такође: Шта је троугласта матрица?
Множење матрице идентитета
Када помножимо матрицу М са матрицом идентитета реда н, као резултат добијамо матрицу М. Погледајмо, у наставку, пример производа матрице М реда 2 на матрицу идентитета реда 2.
\(А\ =\ \лефт(\бегин{матрица}а_{11}&а_{12}\\а_{21}&а_{22}\\\енд{матрица}\десно) \) То је \(И_н=\лево(\почетак{матрица}1&0\\0&1\\\крај{матрица}\десно)\)
Под претпоставком да:
\(А\цдот И_н=Б\)
Имамо:
\(Б\ =\лево(\бегин{матрица}б_{11}&б_{12}\\б_{21}&б_{22}\\\енд{матрица}\десно)\)
Дакле, производ А би \(И_н\) то ће бити:
\(б_{11}=1\цдот а_{11}\цдот1+0\цдот а_{12}=а_{11}\)
\(б_{12}=0\цдот а_{11}+1\цдот а_{12}=а_{12}\)
\(б_{21}=1\цдот а_{21}+0\цдот а_{22}=а_{21}\)
\(б_{22}=0\цдот а_{21}+1\цдот а_{22}=а_{22}\)
Имајте на уму да су термини матрице Б идентични терминима матрице А, односно:
\(А\цдот И_н=\лефт[\бегин{матрик}а_{11}&а_{12}\\а_{21}&а_{22}\\\енд{матрик}\ригхт]=А\)
Пример:
Бити М Матрица \(М=\ \лево[\почетак{матрица}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\крај{матрица}\десно]\), израчунајте производ између матрице М и матрица \(И_3\).
Резолуција:
Изводећи множење, имамо:
\(М\цдот И_3=\лефт[\бегин{матрик}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\енд{матрик}\ригхт]\цдот\лефт[\бегин{матрик}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\енд{матрица}\десно]\)
\(М\цдот И_3=\лефт[\бегин{матрица}1\ \цдот\ 1\ +\ 0\ \цдот\ 4\ +\ 0\ \цдот\ 0&1\цдот0\ +\ 4\ \цдот\ 1 \ +\ 0\цдот\ 0&1\цдот0+4\цдот0+0\цдот1\\2\цдот\ 1\ +\ 5\ \цдот\ 0\ +\ 3\ \цдот\ 0&2\ \цдот\ 0\ +\ 5\цдот1+3\цдот0&2\цдот0+5\цдот0+3\цдот1\\-3\цдот1+\лефт(-2\ригхт)\цдот0+1\цдот0&-3\цдот0+\лефт(-2\ригхт)\ цдот1+1\цдот0&-3\цдот0+\лево(-2\десно)\цдот0+1\цдот1\\\енд{матрица}\десно]\)
\(М\цдот И_3=\лево[\почетак{матрица}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\енд{матрица}\десно]\)
Решене вежбе на матрици идентитета
Питање 1
Постоји квадратна матрица реда 3 која је дефинисана помоћу \(а_{иј}=1 \) када \(и=ј\) То је \(а_{иј}=0\) То је када \(и\нек ј\). Ова матрица је као:
А) \( \лево[\почетак{матрица}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\енд{матрица}\десно]\)
Б) \( \лево[\почетак{матрица}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\енд{матрица}\десно]\)
В) \( \лево[\почетак{матрица}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\енд{матрица}\десно]\)
Д) \( \лево[\почетак{матрица}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\енд{матрица}\десно]\)
И) \( \лево[\почетак{матрица}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\енд{матрица}\десно]\)
Резолуција:
Алтернатива Д
Анализирајући матрицу, имамо:
\(а_{12}=а_{13}=а_{21}=а_{23}=а_{31}=а_{32}=0\)
\(а_{11}=а_{22}=а_{33}=1\)
Дакле, матрица је једнака:
\(\лево[\почетак{матрица}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\енд{матрица}\десно]\)
питање 2
(УЕМГ) Ако је инверзна матрица од \(А=\лево[\почетак{матрица}2&3\\3&к\\\енд{матрица}\десно]\) é \( \лево[\бегин{матрица}5&-3\\-3&2\\\енд{матрица}\десно]\), вредност к је:
А) 5
Б) 6
Ц) 7
Д) 9
Резолуција:
Алтернатива А
Множењем матрица схватамо да је њихов производ једнак матрици идентитета. Рачунајући производ другог реда матрице са првом колоном њеног инверза, имамо:
\(3\цдот5+к\цдот\лево(-3\десно)=0\)
\(15-3к=0\)
\(-\ 3к=0-15\ \)
\(-\ 3к=-\ 15\)
\(к=\фрац{-15}{-3}\)
\(к=5\ \)
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
наставник математике
Извор: Бразил школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm
