А сферна капа анд тхе геометријско чврсто тело добијено када сферу пресретне раван, поделивши је на два геометријска тела. Сферна капа се сматра округлим телом јер, као и сфера, има заобљен облик. За израчунавање површине и запремине сферне капице користимо специфичне формуле.
Прочитајте такође: Дебло конуса — геометријско чврсто тело формирано од дна конуса када се направи пресек паралелан са базом
Резиме о сферичној капици
- Сферна капица је геометријско чврсто тело које се добија када се сфера подели равнином.
- Главни елементи сферне капице су полупречник сфере, полупречник сферне капице и висина сферне капице.
- Сферна капа није полиедар, већ округло тело.
- Ако раван дели сферу на пола, сферни поклопац формира хемисферу.
- Могуће је израчунати полупречник сферне капице користећи Питагорину теорему, организовану на следећи начин:
\(\лево (Р-х\десно)^2+р^2=Р^2\)
- Површина сферне капице може се израчунати помоћу формуле:
\(А=2\пи рх\ \)
- Запремина сферног поклопца може се израчунати помоћу следеће формуле:
\(В=\фрац{\пи х^2}{3}\цдот\лево (3р-х\десно)\)
Шта је сферна капа?
сферна капа је геометријско чврсто тело добијено када се пресек од лопта заједнички раван. Када сферу пресечемо равнином, поделимо ову сферу на две сферне капице. Када поделимо сферу на пола, сферни поклопац је познат као хемисфера.
Елементи сферне капице
У сферној капи, главни елементи су полупречник сфере, полупречник сферне капице и висина сферне капице.
- Р → полупречник сфере.
- р → полупречник сферне капице.
- х → висина сферног поклопца.
Да ли је сферна капица полиедар или округло тело?
Можемо видети да је капа геометријско тело. Пошто има кружну основу и заобљену површину, сферна капа се сматра а округло тело, који је познат и као чврста маса револуције. Вреди напоменути да је полиедар има лица формирана од полигони, што није случај сферне капице, која има основу коју формира а круг.
Како израчунати полупречник сферне капице?
Да бисте израчунали дужину радијуса сферне капице, потребно је знати дужину висине х сферне капице и дужину полупречника Р сфере., јер, као што можемо видети на следећој слици, постоји питагорејски однос.
Имајте на уму да имамо а Право троугао, троугао ОО’Б, са хипотенузом димензија Р и катетама димензија Р – х и р. Примена Питагорина теорема, Морамо да:
\(\лево (Р-х\десно)^2+р^2=Р^2\)
Пример:
Колики је полупречник сферне капице која има висину 2 цм, с обзиром да је полупречник сфере 5 цм?
Резолуција:
Примена Питагорине релације:
\(\лево (Р-х\десно)^2+р^2=Р^2\)
\(\лево (5-2\десно)^2+р^2=5^2\)
\(3^2+р^2=25\)
\(9+р^2=25\)
\(р^2=25-9\)
\(р^2=16\)
\(р=\скрт{16}\)
\(р=4\)
Како израчунати површину сферне капице?
Да бисте израчунали површину сферне капице, потребно је знати мерење дужине полупречника Р кугле и висине х капице. Формула која се користи за израчунавање површине је:
\(А=2\пи Рх\)
- Р → полупречник сфере.
- х → висина сферног поклопца.
Пример:
Од сфере полупречника 6 цм и висине 4 цм добијена је сферна капица. Дакле, која је површина ове сферне капице?
Резолуција:
Израчунавајући површину сферне капице, имамо:
\(А=2\пи Рх\)
\(А=2\цдот\пи\цдот6\цдот4\ \)
\(А=48\пи\ цм^2\)
Како израчунати запремину сферне капице?
Запремина сферне капице може се израчунати на два начина. Прва формула зависи од полупречника Р сфере и висине х:
\(В=\фрац{\пи х^2}{3}\лево (3 Р-х\десно)\)
Пример:
Колика је запремина сферне капице добијене из сфере полупречника 8 цм чија је висина сферне капе 6 цм?
Резолуција:
Пошто знамо вредност Р и х, користићемо прву формулу.
Р = 8
х = 6
\(В=\фрац{\пи х^2}{3}\лево (3 Р-х\десно)\)
\(В=\фрац{\пи6^2}{3}\лево (3\цдот8-6\десно)\)
\(В=\фрац{36\пи}{3}\лево (24-6\десно)\)
\(В=12\пи\лево (18\десно)\)
\(В=216\пи\ цм^3\)
Друга формула запремине сферне капице узима у обзир полупречник сферне капице р и висину капе х:
\(В=\фрац{\пи х}{6}\лево (3р^2+х^2\десно)\)
Пример:
Колика је запремина сферне капице полупречника 10 цм и висине 4 цм?
Резолуција:
У овом случају имамо р = 10 цм и х = 4 цм. Пошто знамо вредност полупречника сферне капице и висину, користићемо другу формулу:
\(В=\фрац{\пи х}{6}\лево (3р^2+х^2\десно)\)
\(В=\фрац{4\пи}{6}\лево (3{\цдот10}^2+4^2\десно)\)
\(В=\фрац{4\пи}{6}\лево (3\цдот100+16\десно)\)
\(В=\фрац{4\пи}{6}\лево (300+16\десно)\)
\(В=\фрац{4\пи}{6}\лево (316\десно)\)
\(В=\фрац{1264\пи}{6}\)
\(В\приближно 210,7\ \пи\ цм³\)
Погледајте такође: Дебло пирамиде — геометријско чврсто тело формирано од дна пирамиде када се узме попречни пресек
Решене вежбе на сферној капи
Питање 1
(Енем) За декорацију дечијег стола кувар ће користити сферичну дињу пречника 10 цм, која ће служити као ослонац за набијање разних слаткиша. Он ће уклонити сферни поклопац са диње, као што је приказано на слици, и, да би гарантовао стабилност овог носача, отежавајући дињу да се котрља по столу, кувар ће сећи тако да полупречник р кружног пресека буде најмање минус 3 цм. С друге стране, шеф ће желети да има што више простора у региону где ће слаткиши бити постављени.
Да би постигао све своје циљеве, кувар мора да исече врх диње на висини х, у центиметрима, једнакој
А) \(5-\фрац{\скрт{91}}{2}\)
Б)\( 10-\скрт{91}\)
Ц) 1
Д) 4
Е) 5
Резолуција:
Алтернатива Ц
Знамо да је пречник сфере 10 цм, па је њен полупречник 5 цм, па је ОБ = 5 цм.
Ако је полупречник пресека тачно 3 цм, имамо:
АО² +АБ² = ОБ²
АО² + 3² = 5²
АО² + 9 = 25
АО² = 25 – 9
АО² = 16
АО = \(\скрт{16}\)
АО = 4 цм
дакле:
х + 4 = 5
х = 5 – 4
х = 1
питање 2
Сферни поклопац има површину од 144π цм². Знајући да има радијус од 9 цм, висина ове сферне капице је:
А) 8 цм
Б) 10 цм
В) 14 цм
Д) 16 цм
Е) 22 цм
Резолуција:
Алтернатива А
Знамо да је:
\(А=2\пи Рх\)
\(144\пи=2\пи\цдот9\цдот х\)
\(144\пи=18\пи х\)
\(\фрац{144\пи}{18\пи}=х\)
\(8=х\)
Висина је 8 цм.
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
наставник математике
Извор: Бразил школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm
