У проучавању комплексних бројева наилазимо на следећу једнакост: и2 = – 1.
Оправдање за ову једнакост обично је повезано са решавањем једначина 2. степена са негативним квадратним коренима, што је грешка. Порекло израза и2 = - 1 се појављује у дефиницији комплексних бројева, још једно питање које такође изазива велику сумњу. Хајде да разумемо разлог такве једнакости и како она настаје.
Прво, направимо неке дефиниције.
1. Уређени пар реалних бројева (к, и) назива се комплексним бројем.
2. Комплексни бројеви (к1г.1) и (к2г.2) једнаки су ако и само ако је х1 = к2 и г.1 = и2.
3. Сабирање и множење комплексних бројева дефинисано је:
(Икс1г.1) + (к2г.2) = (к1 + к2г.1 + и2)
(Икс1г.1)*(Икс2г.2) = (к1*Икс2 - и1* г.2, Икс1* г.2 + и1*Икс2)
Пример 1. Размотримо з1 = (3, 4) и з2 = (2, 5), израчунај з1 + з2 и з1* з2.
Решење:
з1 + з2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
з1* з2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Користећи трећу дефиницију лако је показати да:
(Икс1, 0) + (к2, 0) = (к1 + к2, 0)
(Икс1, 0) * (к2, 0) = (к1*Икс2, 0)
Те једнакости показују да се у односу на операције сабирања и множења сложени бројеви (к, и) понашају као реални бројеви. У овом контексту можемо успоставити следећи однос: (к, 0) = к.
Користећи овај однос и симбол и за представљање комплексног броја (0, 1), можемо написати било који комплексни број (к, и) на следећи начин:
(к, и) = (к, 0) + (0, 1) * (и, 0) = к + ии → што је нормални облик позива комплексног броја.
Дакле, комплексни број (3, 4) у нормалном облику постаје 3 + 4и.
Пример 2. Следеће сложене бројеве напишите у нормалном облику.
а) (5, - 3) = 5 - 3и
б) (- 7, 11) = - 7 + 11и
в) (2, 0) = 2 + 0и = 2
г) (0, 2) = 0 + 2и = 2и
Сада приметите да и називамо комплексним бројем (0, 1). Да видимо шта ће се десити приликом прављења и2.
Знамо да је и = (0, 1) и да је и2 = и * и. Пратите то:
и2 = и * и = (0, 1) * (0, 1)
Користећи дефиницију 3, имаћемо:
и2 = и * и = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Као што смо раније видели, сваки сложени број облика (к, 0) = к. Тако,
и2 = и * и = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Стигли смо до чувене једнакости и2 = – 1.
Не заустављај се сада... После оглашавања има још;)
Написао Марцело Ригонатто
Специјалиста за статистику и математичко моделирање
Бразилски школски тим
Комплексни бројеви - Математика - Бразил Сцхоол
