За израчунавање одредница квадратних матрица реда мањег или једнаког 3 (н≤3), имамо нека практична правила за извођење ових прорачуна. Међутим, када је редослед већи од 3 (н> 3), многа од ових правила нису применљива.
Тако ћемо видети Лаплацеову теорему, која, користећи концепт кофактора, води рачунање одредница до правила која се примењују на било које квадратне матрице.
Лаплацеова теорема састоји се од избора једног од редова (реда или колоне) матрице и додавања производа елемената тог реда њиховим одговарајућим кофакторима.
Алгебарска илустрација:
![](/f/fc0e638960c4c54c608602665c488fd8.jpg)
Погледајмо пример:
Израчунајте одредницу матрице Ц користећи Лаплацеову теорему:
![](/f/09fbe287cc6628ae9ce9ed0e47e0ec94.jpg)
Према Лаплацеовој теореми, за израчунавање одреднице морамо одабрати ред (ред или колону). Користимо прву колону:
![](/f/0b314db191c1303f40e5f869a63bd127.jpg)
Морамо пронаћи вредности кофактора:
![](/f/4e4777193fbf8938e9fa0ccf71188a8d.jpg)
![](/f/3ec59bfe4d8623e16aeb52e6e3ed45f1.jpg)
![](/f/35dca611d993bc73bdbd83c358385b55.jpg)
Према томе, Лаплацеовом теоремом одредница матрице Ц дата је следећим изразом:
![](/f/480cd1383d9bc3635d19c7a51bb6bcd5.jpg)
Имајте на уму да није било потребно израчунати кофактор елемента матрице који је био једнак нули, уосталом, када помножимо кофактор, резултат би ионако био нула. Стога, када наиђемо на матрице које имају много нула у једном од својих редова, употреба Лаплацеове теореме постаје занимљива, јер неће бити потребно израчунати неколико кофактори.
Погледајмо пример ове чињенице:
Израчунајте одредницу матрице Б користећи Лаплацеову теорему:
![](/f/ef09f6c03b56b6e1314c7161e06306fd.jpg)
Имајте на уму да је друга колона ред који има највећу количину нула, па ћемо овај ред користити за израчунавање одреднице матрице кроз Лаплацеову теорему.
![](/f/176aed088cb3db1c19c9dbf2ba10f742.jpg)
Према томе, да бисте одредили одредницу матрице Б, само пронађите кофактор А22.
![](/f/b5288a0a0767f88b2fb6819b81e9da1e.jpg)
Стога можемо довршити прорачуне одреднице:
дет Б. = (- 1). (- 65) = 65
Написао Габриел Алессандро де Оливеира
Дипломирао математику
Бразилски школски тим
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm