израчунати факторијел броја има смисла само када радимо са природним бројевима. Ова операција је прилично честа у комбинаторна анализа, олакшавајући прорачун аранжмана, пермутација, комбинација и других проблема који укључују бројање. Факторијал је представљен симболом „!“. Ми га дефинишемо као н! (н факторијел) до множење н од свих његових претходника док не дођете до 1. не! = н · (н - 1) · (н - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Прочитајте такође: Основни принцип бројања - главни концепт комбинаторне анализе
Шта је факторијел?
Факторијал је веома важна операција за проучавање и развој комбинаторне анализе. У математици, број иза кога следи ускличник (!) је познат као фактор, на пример к! (к факторијел).
Ми знамо као фактор од а природан број Тхе множењем овог броја са претходницима осим нуле, тј.
не! = н · (н-1) · (н-2)… 3 · 2 · 1 |
Значајно је да, како би ова операција имала смисла, н је природан број, то јест, не рачунамо факторије негативног броја, чак ни децималног броја, или разломка.
факторски прорачун
Да бисте пронашли факторијел броја, само израчунајте производ. Такође имајте на уму да је факторијел операција која, када повећати вредност н, резултат ће се такође много повећати.
Примери:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
По дефиницији имамо:
0! = 1
1! = 1
Факторске операције
Да бисте решили факторске операције, важно је бити опрезан и не правити грешке. Када ћемо сабрати, одузети или помножити две чињенице, потребно је израчунати сваку од њих засебно. Само одељење има специфичне начине да изврши поједностављења. Не правите грешку изводећи операцију и задржавајући факторијел, било за сабирање и одузимање или за множење.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Када решавамо било коју од ових операција, морамо израчунати сваку чињеницу.
Примери:
а) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
б) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
ц) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Погледајте такође: Како решити једначину са факторијелом?
Факторско поједностављење
Поделе се често понављају. У формулама од комбинација, распоред и пермутацију са понављањем, увек ћемо прибегавати поједностављењу да бисмо решили проблеме који укључују факторијел. За то, следимо неке кораке.
Пример:
1. корак: идентификујте највећи факторијел - у овом случају је 8! Сада, гледајући називник, који је 5!, напишимо множење 8 његових претходника док не дођемо до 5 !.
Факторијал броја н, односно н!, може се преписати као множење н на к!. Тако,
не! = н · (н -1) · (н- 2) ·… · к!, па препишимо 8! попут множења са 8 на 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Па препишимо разлог као:
2. корак: након преписивања разлог, могуће је поједноставити бројилац са називником, јер 5! налази се и у бројнику и у називнику. После поједностављења, само изведите множење.
Пример 2:
Комбинациона и факторска анализа
Приликом извођења у даљем проучавању комбинаторне анализе увек ће се појавити факторијел одређеног броја. Главне групе у комбинаторној анализи, које су пермутација, комбинација и распоред, користе факторијел броја у својим формулама.
Пермутација
ТХЕ пермутација и преуређивање свих елемената скупа. Да бисмо израчунали пермутацију, прибегавамо факторијелу, јер се пермутација н елемената израчунава према:
П.не = н!
Пример:
Колико анаграми можемо ли градити са именом ХЕИТОР?
Ово је типичан проблем пермутације. Како у имену постоји 6 слова, за израчунавање броја могућих анаграма само израчунајте П.6.
П.6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Такође приступите: Пермутација са поновљеним елементима: како то решити?
Аранжмани
Израчунај аранжмани захтева и савладавање фактора броја. Аранжман, попут пермутације, представља формирање преуређивања. Разлика је у томе у аранжману преуређујемо део сета, то јест, желимо да знамо колико могућих преуређења можемо формирати избором количине к једне комплет са н елемената.
Пример:
У предузећу постоји 6 кандидата за управљање институцијом, а двоје ће бити изабрано за места директора и заменика директора. Колико је могућих резултата знајући да ће бити изабрани гласањем?
У овом случају израчунаћемо распоред 6 узетих из 2 са 2, јер има 6 кандидата за два слободна места.
Комбинација
У комбинацији, као и у осталим, неопходно је савладати чинилац броја. Ми дефинишемо као комбинацију ти подскупови скупа. Разлика је у томе што, у комбинацији, нема преуређивања, јер редослед није важан. Тако израчунавамо колико подскупова са к елемената можемо формирати у скупу од н елемената.
Пример:
Биће изабрана комисија од 3 ученика која ће представљати одељење. Знајући да постоји 5 кандидата, колико комисија може да се формира?
Прочитајте такође: Аранжман или комбинација?
Вежбе решене
Питање 1 - О факторијелу броја, судите о следећим изјавама.
И). 0! + 1! = 2
ИИ). 5! - 3! = 2!
ИИИ) 2! · 4! = 8
А) Истина је само ја.
Б) Истина је само ИИ.
В) Истина је само ИИИ.
Д) Истина су само И и ИИ.
Е) Само су ИИ и ИИ тачни.
Резолуција
Алтернатива А.
И) Тачно.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
ИИ) Нетачно.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
ИИИ) Нетачно.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Питање 2 - (УФФ) Да ли је производ 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 еквивалентан?
А) 20: 2
Б) 2 · 10!
В) 20: 210
Д) 210· 10!
Е) 20!: 10!
Резолуција
Алтернатива Д.
Гледајући умножак свих парних бројева од 2 до 20, знамо да:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Тако да можемо преписати као 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике