Поједностављење алгебарских разломака

Кад год се реч „алгебарски“ користи за нумерички израз, то значи да тај израз има најмање једно непознато, односно слово или симбол који се користи за представљање броја непознат. Дакле, а алгебарски разломакзаузврат, није ништа више од разломка који има најмање једну непознату у називник (дно разломка). Стога поједностављење алгебарских разломака следи исти темељ као и поједностављење нумеричких разломака.

Примери алгебарских разломака су:

1)

2к
4и

2)

4и² - 9к²
2и + 3к

Поједностављивање алгебарских разломака

Поједностављивање алгебарског разломка следи исти темељ као и поједностављивање нумеричког разломка. Потребно је поделити бројилац и називник са истим бројем. Приметите пример поједностављења разломка:

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

Горњи разломак је поједностављен за 2, затим за 3, па за 5. Да би подржао поступак поједностављење алгебарских разломака, преписаћемо први разломак горе у факторски облик:

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

Имајте на уму да се бројеви 2, 3 и 5 понављају у бројиоцу и називнику и да су то били потпуно исти бројеви којима је разломак поједностављен. У контексту

алгебарске разломке, поступак је сличан, такав какав је неопходне за факторисање полинома присутних у бројилу и називнику. После тога морамо проценити да ли је могуће поједноставити неке од њих.

Примери

1) Поједноставите следећи алгебарски разломак:

4к²г.³
16ки⁶

Уважите сваку непознату и бројку присутну у разломку:

4к²г.³
16ки⁶

2· 2 · к · к · и · и · и
2 · 2 · 2 · 2 · к · и · и · и · и · и · и

Сада изведите што више дељења, као што сте раније радили за нумерички разломак: Бројеви који се појављују и у бројнику и у називнику нестају, односно јесу „резати“. Такође је могуће написати да је резултат сваког од ових поједностављења 1. Гледати:

2· 2 · к · к · и · и · и
2 · 2 · 2 · 2 · к · и · и · и · и · и · и

Икс
2 · 2 · г · г · г

Икс
4и³

2) Поједноставите следећи алгебарски разломак:

4и² - 9к²
2и + 3к

Имајте на уму да је нумератор овога алгебарски разломак спада у један од случајева запажених производа, односно два квадрата разлике. Да бисте то узели у обзир, само га препишите у факторски облик. После тога је могуће „исећи“ појмове који се појављују и у имениоцу и у бројиоцу као у претходном примеру. Гледати:

4и² - 9к²
2и + 3к

= (2г + 3к) (2г - 3к)
2и + 3к

= 1 · (2г - 3к)

= 2и + 3к

3) Поједноставите следећи алгебарски разломак:

Тхе²(г.² - 16к²)
аи + 4ак

Као што је претходно учињено, размножите полиноме присутне у бројилу и називнику. После тога извршите поделе које су могуће.

Тхе²(г.² - 16к²)
аи + 4ак

= Тхе·Тхе·(и + 4к) (и - 4к)
а · (и + 4к)

Имајте на уму да је бројилац урачунат помоћу два квадрата разлике а именитељ је урачунат кроз заједнички фактор. Поред тога, термин а² може се записати као производ а · а. На крају, изведите што више подела. Наиме, а са а и (и + 4к) са (и + 4к):

Тхе·Тхе·(и + 4к) (и - 4к)
а · (и + 4к)

= 1 · 1 · (и - 4к)

= и - 4к

Случајеви факторизације су од највеће важности за поједностављивање алгебарских разломака. Испод су наведени најважнији случајеви и неке странице на којима се могу наћи детаљније.

Факторирање алгебарских израза

Полином се може написати у факторском облику ако се може изразити у једном од четири доленаведена облика. Приказани резултати су њихов факторски облик или примери како се на њих рачуна:

1 - Заједнички фактор

Ако сви појмови полинома имају непознат или неки заједнички број, могуће их је увести у доказе. На пример, у полиному 4к² + 2к можемо 2к да докажемо. Резултат ће бити:

4к² + 2к = 2к (2к + 1)

Имајте на уму да ће резултат извођења множења назначеног на другом члану (десна страна једнакости) бити управо први члан (лева страна једнакости), због дистрибутивног својства множење.

2 - Груписање

С обзиром на претходни случај, полином који има четири члана може се факторизирати груписањем, спајањем уобичајени појмови два по два, а касније ће се поново узети у обзир ако резултати то оставе могућност. Полим 2к, бк + 2и +, на пример, може се рачунати на следећи начин:

2к + бк + 2и + би

к (2 + б) + и (2 + б)

Имајте на уму да се (2 + б) понавља у оба нова термина. Дакле, можемо то доказати:

к (2 + б) + и (2 + б)

(2 + б) (к + и)

3 - Савршени квадратни трином

Кад год је полином савршени квадратни трином, он ће бити записан еквивалентно једном од следећа три израза поредана лево и црвено.

Икс² + 2к + а² = (к + а) (к + а)

Икс² - 2к + а² = (к - а) (к - а)

Икс² - а² = (к + а) (к - а)

Десна страна је факторски облик полинома, који се може користити за поједностављивање алгебарских разломака.

4 - Збир или разлика две коцке

Кад год је полином у следећем облику или се у њега може записати, то ће бити збир две коцке.

Икс³ + 3к²на + 3к² + тхе³ = (к + а)³

Икс³ - 3к²на + 3к² - а³ = (к - а)³

Опет, лева страна, црвена, је полином који се може разложити и преписати попут израза на десној страни.

Аутор Луиз Пауло Мореира
Дипломирао математику

Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm