ти комплексни бројеви произилазе из потребе за решавањем једначине који имају корен негативног броја, што до тада није било могуће решити радом са реалним бројевима. Комплексни бројеви могу се представити на три начина: а алгебарски облик (з = а + би), састављен од стварног дела Тхе и замишљени део Б.; Тхе Геометријски облик, представљен у сложеној равни такође познатој као Арганд-Гауссова раван; и твоје тригонометријска форма, познат и као поларни облик. На основу њиховог представљања, док радимо са нумеричким скупом, сложени бројеви имају добро дефинисане операције: сабирање, одузимање, множење, дељење и потенцирање.
Кроз геометријски приказ у комплексној равни дефинишемо и модул (представљен са |з|) комплексног броја - што је удаљеност од тачке која представља комплексни број до исходишта - и шта је аргумент сложени број - што је угао формиран између хоризонталне осе и стазе која повезује исходиште са тачком која представља број комплекс.
потреба за сложеним бројевима
У математици је проширење нумеричког скупа на нови скуп, кроз историју, било нешто сасвим уобичајено. Испоставило се да се током ње математика развила, а затим и до задовољи потребе времена, примећено је да постоје бројеви који нису припадали нумеричком скупу на који се односио. Тако је било са појавом нумерички скупови целих бројева, рационалних, ирационалних и реалних, и није било другачије када је било потребно проширити скуп реалних бројева на онај сложених бројева.
Када покушамо да решимо квадратне једначине, прилично је уобичајено да налазимо квадратни корен негативног броја, што је немогуће решити у скупу реалних бројева, па отуда и потреба за сложеним бројевима. На почетку проучавања ових бројева добијали су доприноси важни математичари, попут Гиралма Цардона, али су њихов скуп формализовали Гаусс и Арганд.
Прочитајте такође: Геометријски приказ збира комплексних бројева
алгебарски облик комплексног броја
При покушају решавања квадратне једначине као што је к² = –25, често се говорило да је нерешива. Међутим, у покушају алгебризације, алгебарски приказ, што омогућава извођење операција са овим бројевима, иако не можете израчунати квадратни корен негативног броја.
Да бисте олакшали решавање ситуација у којима радите са квадратни корен негативног броја, замишљена јединица.
Дакле, анализирајући представљену једначину к² = -25, имамо да:
Дакле, решења за једначину су -5и е5и.
Да би се дефинисао алгебарски облик, писмо ја, познат као замишљена јединица сложеног броја. Сложени број представљен је са:
з = Тхе + Б.и
На шта Тхе и Б. су стварни бројеви.
Тхе: стварни део, означен са а = Ре (з);
Б.: замишљени део, означен Им (з);
и: замишљена јединица.
Примери
Тхе) 2 + 3и
Б) -1 + 4и
ц) 5 – 0,2и
д) -1 – 3и
када стварни део је нула, број је познат као чиста измишљена, на пример, -5и и 5и они су чиста машта јер немају стварни део.
Када је замишљени део нула, комплексни број је такође стваран број.
Операције са сложеним бројевима
Као и сваки нумерички скуп, и операције морају бити добро дефинисана, стога је могуће извршити четири основне операције комплексних бројева узимајући у обзир представљени алгебарски облик.
Сабирање два сложена броја
Да би се извршио додатак од два сложена броја з1 ез2, додаћемо стварни део з1 ез2 односно збира замишљеног дела.
Бе:
з1 = а + би
з2 = ц + ди
з1 +з2 = (а + ц) + (б + д)и
Пример 1
Остваривање збира з1 и з2.
з1 = 2 + 3и
з2 = 1 + 2и
з1 +з2= (2 + 1) + (3 + 2)и
з1 +з2= 3 + 5и
Пример 2
Остваривање збира з1 и з2.
з1 = 5 – 2и
з2 = – 3 + 2и
з1+з2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)и
з1+з2 = (5 – 3) + 0и
з1 +з2= 3 + 0и = 3
Погледајте такође: Геометријски приказ збира комплексних бројева
Одузимање два сложена броја
Пре него што разговарамо о одузимање, морамо дефинисати шта је инверзна комплексном броју, односно з = а + би. Инверзна вредност з, представљена са –з, је комплексни број –з = –а –би.
Да би се извршило одузимање између з1и -з2, као и поред тога, урадићемо и одузимање између стварних делова и између замишљених делова одвојено, али неопходно је разумети то -з2 то је инверзна сложеном броју, због чега је неопходно играти игру знакова.
Пример 1
Извођењем одузимања з1 и з2.
з1 = 2 + 3и
з2 = 1 + 2и
з1–з2 = (2 – 1) + (3 – 2)и
з1–з2= 1 + 1и = 1+ и
Пример 2
Извођењем одузимања з1 и з2.
з1= 5 – 2и
з2 = – 3 + 2и
з1–з2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)и
з1–з2= (5 + 3) + (–4)и
з1 –з2= 8 + (–4)и
з1 –з2= 8 –4и
Имагинарне јединице моћи
Пре него што говоримо о множењу, морамо да схватимо снагу замишљене јединице. У потрази за методом за израчунавање моћи ине, неопходно је схватити да се ове моћи понашају циклично. За ово, израчунајмо неке потенције у и.
Испоставило се да следеће моћи нису ништа друго до његово понављање, имајте на уму да:
и 4 = и 2 · и 2 = (–1) (–1) = 1
и 5 = и 2 · и 3 = (–1) (–и) = и
Како настављамо с израчунавањем потенцијала, одговори ће увек бити елементи скупа {1, и, –1, -и}, а затим да бисте пронашли снагу јединице ине, поделићемо н (експонент) са 4, а одморити сеове дивизије (р = {0, 1, 2, 3}) биће нови експонент од и.
Пример1
Прорачун и25
Када 25 поделимо са 4, количник ће бити 6, а остатак ће бити једнак 1. Дакле, морамо:
и 25 = и1 = и
Пример 2
Прорачун и 403
Када 403 поделимо са 4, количник ће бити 100, јер је 100 · 4 = 400, а остатак ће бити 3, па морамо:
и 403 =и 3 = -и
Множење комплексних бројева
Да бисмо извршили множење два сложена броја, применимо дистрибутивност. Бе:
з1= а + би
з2= ц + ди, затим производ:
з1 · з2 = (а + би) (ц + ди), применом дистрибутивне имовине,
з1 · з2 = ац + ади + цби + бди 2, али као што смо видели, и ² = -1
з1 · з2 = ац + ади + цбја - бд
з1 · з2= (ац – бд) + (ад + цб)и
Помоћу ове формуле могуће је пронаћи производ било која два сложена броја, али у а Генерално, не треба га украшавати, јер за дотични израчун само примењујемо имовину дистрибутивни.
Пример
Израчун производа од (2 + 3и) (1 – 4и):
(2+3и) (1 – 4и) = 2 – 8и + 3и– 12и ², сећајући се тога и² = -1:
(2 + 3и) (1 – 4и) = 2 – 8и + 3и+ 12
(2 + 3и) (1 – 4и) = (2 + 12) + (– 8 + 3)и
(2+3и) (1 – 4и) = 14 – 5и
Такође приступите: Сложени број сабирање, одузимање и множење
Коњугат сложеног броја
Пре него што говоримо о дељењу, морамо да схватимо шта је коњугат комплексног броја. Концепт је једноставан, пронаћи коњугат комплексног броја, праведно размењиватимос знак замишљеног дела.
подела два сложена броја
Да би се извршио подела два сложена броја, треба размножити разломак коњугатом умањеника тако да је добро дефинисано шта је стварни, а шта имагинарни део.
Пример
Израчун поделе (6 - 4и): (4 + 2и)
Погледајте такође: Супротно, коњуговано и једнакост комплексних бројева
Комплексна раван или Арганд-Гауссова раван
Познат као сложени план или Планрганд-гаусс, он дозвољава приказ у геометријском облику сложеног броја, овај план је адаптација у Картезијански авион да представљају сложене бројеве. Хоризонтална оса је позната као стварни део осе Ре (з), а вертикална оса је позната као ос замишљеног дела Им (з). Дакле, комплексни број представљен са а + би генерише тачке у комплексној равни коју чини уређени пар (а, б).
Пример
Представљање броја 3 + 2и у геометријском облику З (3,2).
Сложени број по модулу и аргументу
Геометријски модул комплексног броја је удаљеност од тачке (а, б) што представља овај број у комплексној равни до порекла, односно тачка (0,0).
Као што видимо, | з | је хипотенуза од Право троугао, стога се може израчунати применом Питагорина теорема, тако да морамо:
Пример:
Израчунавање модула з = 1 + 3и
О. Тхерасправа комплексног броја, геометријски, је угао коју чине водоравна ос и | з |
Да бисмо пронашли вредност угла, морамо:
Циљ је пронаћи угао θ = арг з.
Пример:
Пронађите аргумент комплексног броја: з = 2 + 2и:
Пошто су а и б позитивни, знамо да је овај угао у првом квадранту, па израчунајмо | з |.
Познавајући | з |, могуће је израчунати синус и косинус.
Будући да су у овом случају а и б једнаки 2, онда ћемо, када израчунамо синθ, пронаћи исто решење за косинус.
Познавање вредности синθ и цосθ, консултовањем табеле значајних углова и знајући то θ припада првом квадранту, па се θ може наћи у степенима или радијанима, па закључујемо Шта:
Тригонометријска или поларна форма
Приказ комплексног броја у тригонометријски облик то је могуће тек након што схватимо концепт модула и аргумента. На основу ове репрезентације развијају се важни концепти за проучавање сложених бројева на напреднијем нивоу. Да бисмо извели тригонометријски приказ, сетићемо се његовог алгебарског облика з = а + би, међутим, када анализирамо комплексну раван, морамо:
Заменом, у алгебарском облику, вредности а = | з | цос θ и б = | з | сен θ, морамо:
з = а + би
Са з = | з | цос θ + | з | сенθ ја, стављање | з | као доказ долазимо до формуле тригонометријског облика:
з = | з | (цос θ + и · Син θ) |
Пример: У тригонометријском облику напишите број
Да бисмо писали у тригонометријском облику, требају нам аргумент и модул з.
1. корак - Прорачун | з |
Познавајући | з |, могуће је пронаћи вредност θ консултујући табелу значајних углова.
Сада је могуће записати број з у његовом тригонометријском облику са углом у степенима или са углом измереним у радијанима.
Прочитајте такође: Зрачење комплексних бројева у тригонометријском облику
решене вежбе
Питање 1 - (УФРГС) С обзиром на комплексне бројеве з1 = (2, –1) и з2 = (3, к), познато је да је производ између з1 и з2 је реалан број. Дакле, к је једнако:
а) -6
б) -3/2
ц) 0
д) 3/2
е) 6
Резолуција
Алтернатива Д.
Да би производ био реалан број, тада је замишљени део једнак нули.
Писањем ових бројева у алгебарски облик, морамо:
з1 = 2 – 1и и з2 = 3 + ки
з1 · З2 = (2 – 1и) (3 + ки)
з1 · З2 = 6 + 2ки –3ја - Икси ²
з1 · З2 = 6 + 2ки –3и + Икс
з1 · З2 = 6+ к + (2к - 3)и
Пошто нас занима да је замишљени део једнак нули, тада ћемо решити за 2к - 3 = 0
Питање 2 - (УЕЦЕ) Ако је и комплексни број чији је квадрат једнак -1, тада је вредност 5и 227 + и 6 – и 13 то је исто као:
Тхе) и + 1
б) 4и –1
ц) -6и –1
г) -6и
Резолуција
Алтернатива Ц.
Да бисте решили овај израз, потребно је пронаћи остатак сваког од бројева подељених са 4.
227: 4 резултира количником 56 и остатком 3.
и 227 = и 3 = –и
6: 4 резултира количником 1 и остатком 2.
и 6 = и 2 = –1
13: 4 резултира количником 3 и остатком 1.
и 13 = и1 = и
Дакле, морамо:
5и 227 + и 6 – и 13
5 (–и) + (–1) – и
–5и –1 – и
–6и – 1
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике
Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm