Шта је хипербола?
Дефиниција: Нека су Ф1 и Ф2 две тачке на равни и нека је 2ц растојање између њих, хипербола је скуп тачака у равни чија је разлика (у модулу) растојања до Ф1 и Ф2 константа 2а (0 <2а <2ц).
Елементи хиперболе:
Ф1 и Ф2 → су жаришта хиперболе
→ је центар хиперболе
2ц → жижна даљина
2. → мерење стварне или попречне осе
2б → замишљено мерење осе
ц / а → ексцентричност
Постоји веза између а, б и ц → ц2 = тхе2 + б2
Смањена једначина хиперболе
1. случај: Хипербола са фокусом на к оси.
Јасно је да ће у овом случају жаришта имати координате Ф1 (-ц, 0) и Ф2 (ц, 0).
Дакле, сведена једначина елипсе са центром у исходишту картезијанске равни која се фокусира на к осу биће:
2. случај: Хипербола са фокусима на и оси.
У овом случају жаришта ће имати координате Ф1 (0, -ц) и Ф2 (0, ц).
Дакле, сведена једначина елипсе са центром у исходишту картезијанске равни и фокусиране на и осу биће:
Пример 1. Наћи смањену једначину хиперболе са реалном осом 6, жариштима Ф1 (-5, 0) и Ф2 (5, 0).
Решење: Морамо
2а = 6 → а = 3
Ф1 (-5, 0) и Ф2 (5, 0) → ц = 5
Из изузетне везе добијамо:
ц2 = тхе2 + б2 → 52 = 32 + б2 → б2 = 25 - 9 → б2 = 16 → б = 4
Дакле, редукована једначина ће бити дата са:
Пример 2. Наћи редуковану једначину хиперболе која има два жаришта са Ф2 координатама (0, 10) и замишљеном осом мере 12.
Решење: Морамо
Ф2 (0, 10) → ц = 10
2б = 12 → б = 6
Користећи изванредан однос, добијамо:
102 = тхе2 + 62 → 100 = а2 + 36 → а2 = 100 - 36 → а2 = 64 → а = 8.
Дакле, редукована једначина хиперболе биће дата са:
Пример 3. Једнаџбом одредити жижну даљину хиперболе
Решење: Пошто је једначина хиперболе типа
Морамо даТхе2 = 16 и б2 =9
Из изузетног односа који смо добили
ц2 = 16 + 9 → в2 = 25 → ц = 5
Жижна даљина је дата са 2ц. Тако,
2ц = 2 * 5 = 10
Дакле, жижна даљина је 10.
Написао Марцело Ригонатто
Специјалиста за статистику и математичко моделирање
Бразилски школски тим
Аналитичка геометрија - Математика - Бразил Сцхоол