О запремина сфере да ли је простор заузет овим геометријско чврсто тело. Кроз зрак од лопта — односно са растојања између центра и површине — могуће је израчунати њену запремину.
Прочитајте такође: Запремина геометријских тела
Резиме о запремини сфере
Сфера је а округло тело добијено окретањем полукруга око осе која садржи пречник.
Све тачке на сфери се налазе на растојању једнаком или мањем од р од центра сфере.
Запремина сфере зависи од мере полупречника.
Формула за запремину сфере је \(В=\фрац{4·π·р^3}3\)
Видео лекција о запремини сфере
Шта је сфера?
Размотримо тачку О у простору и сегмент са мером р. сфера је чврста тела формирана од свих тачака које су на растојању једнаком или мањем од р од О. О називамо центром сфере, а р полупречником сфере.
сфера може се окарактерисати и као чврста револуција. Имајте на уму да ротирање полукруга око осе која садржи његов пречник формира сферу:
Формула запремине сфере
Да бисмо израчунали запремину В сфере, користимо формулу испод, где је р полупречник сфере:
\(В=\фрац{4·π·р^3}{3}\)
Важно је посматрати јединица мере полупречник за одређивање јединице мере за запремину. На пример, ако је р дат у цм, онда запремина мора бити дата у цм³.
Како израчунати запремину сфере?
Прорачун запремине сфере зависи само од мерења полупречника. Погледајмо пример.
Пример: Користећи апроксимацију π = 3, пронађите запремину кошаркашке лопте пречника 24 центиметра.
Пошто је пречник двоструко већи од полупречника, р = 12 цм. Применом формуле за запремину сфере, имамо
\(В=\фрац{4·π·12^3}3\)
\(В=\фрац{4 · π·1728}3\)
\(В=6 912\ цм^3\)
региони сфере
Размотримо сферу са центром О и полупречником р. Овако, можемо размотрити три региона ове сфере:
Унутрашњи регион формирају тачке чија је удаљеност од центра мања од полупречника. Ако П припада унутрашњем делу сфере, онда
\(Д(П, О)
Површински регион формирају тачке чија је удаљеност од центра једнака полупречнику. Ако П припада области површине сфере, онда
\(Д(П, О)=р\)
Спољни регион формирају тачке чија је удаљеност од центра већа од полупречника. Ако П припада унутрашњем делу сфере, онда
\(Д(П, О)>р\)
Према томе, тачке на спољашњем делу сфере не припадају сфери.
Знате више: Сферна капица — чврста маса која се добија када се сфера пресече раван
Друге формуле сфере
А област сфере — односно мерење његове површине — такође има познату формулу. Ако је р полупречник сфере, њена површина А се израчунава по
\(А=4·π·р^2\)
У овом случају, такође је важно забележити јединицу мере за радијус да бисте означили јединицу мере за област. На пример, ако је р у цм, онда А мора бити у цм².
Решене вежбе о запремини сфере
Питање 1
Колики је полупречник сфере која има запремину 108 кубних центиметара? (Користите π = 3).
а) 2 цм
б) 3 цм
в) 4 цм
г) 5 цм
д) 6 цм
Резолуција
Алтернатива Б.
Узмите у обзир то р је полупречник сфере. Знајући да је В = 108, можемо користити формулу за запремину сфере:
\(В=\фрац{4·π·р^3}3\)
\(108=\фрац{4·3·р^3}3\)
\(108=4·р^3\)
\(р^3=27\)
\(р = 3\ цм\)
питање 2
Древни сферни резервоар је пречника 20 метара и запремине В1. Пожељна је изградња другог резервоара, запремине В2, са дупло већом запремином од старог резервоара. Дакле, В2 то је исто као
Тхе) \(\фрац{3000·π}{8} м^3\)
Б) \(\фрац{3000·π}{4} м^3\)
в) \(\фрац{2000·π}{3} м^3\)
д) \(\фрац{4000·π}{3} м^3\)
То је) \(\фрац{8000·π}{3} м^3\)
Резолуција
Е алтернатива.
Пошто је пречник двоструко већи од радијуса, стари резервоар има радијус р = 10 метара. Стога
\(В_1=\фрац{4·π·р^3}3\)
\(В_1=\фрац{4·π·10^3}3\)
\(В_1=\фрац{4000·π}3\ м^3\)
Према изјави, \(В_2=2·В_1\), тј
\(В_2=\фрац{8000·π}3 м^3\)
Аутор: Мариа Луиза Алвес Риззо
Наставник математике
Извор: Бразил школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm
