ТХЕ Теорема унутрашње симетрале је развијена посебно за троуглови и показује да када пратимо унутрашњу симетралу угла троугла, тачка сусрета симетрале са страном насупрот њој дели ту страницу на линијски сегменти сразмерно суседним страницама тог угла. Уз примену теореме унутрашње симетрале могуће је одредити вредност странице или сегмената троугла користећи пропорцију између њих.
Погледајте такође: Медијан, симетрала угла и висина троугла — у чему је разлика?
Резиме о теореми унутрашње симетрале:
Симетрала је а зрак која дели угао на два подударна угла.
Теорема унутрашње симетрале је специфична за троуглове.
Ова теорема доказује да симетрала дели супротну страну на пропорционални сегменти на суседне стране угао.
Видео лекција о теореми унутрашње симетрале
Шта је теорема о симетрали?
Пре него што схватимо шта каже теорема о унутрашњој симетрали, важно је знати шта је симетрала угла. То је зрак који дели угао на два подударна дела., односно два дела која имају исту меру.
Разумевајући шта је симетрала, примећујемо да она постоји под унутрашњим углом троугла. Када оцртамо симетралу угла троугла, она ће поделити супротну страну на два сегмента. Што се тиче унутрашње симетрале, његова теорема каже да су два сегмента подељена њоме пропорционална суседним странама угла.
Имајте на уму да симетрала дели страну АЦ на два сегмента, АД и ДЦ. Теорема симетрале то показује:
\(\фрац{\оверлине{АБ}}{\оверлине{АД}}=\фрац{\оверлине{БЦ}}{\оверлине{ЦД}}\)
Знате више: Питагорина теорема — још једна теорема развијена за троуглове
Доказ теореме унутрашње симетрале
У троуглу АБЦ испод, разграничићемо сегмент БД, који је симетрала овог троугла. Надаље, пратићемо продужење његове стране ЦБ и сегмента АЕ, паралелно са БД:
Угао АЕБ је подударан са углом ДБЦ, јер је ЦЕ а равно трансверзално на паралелне сегменте АЕ и БД.
применом на Талесова теорема, закључили смо да:
\(\фрац{\оверлине{БЕ}}{\оверлине{АД}}=\фрац{\оверлине{БЦ}}{\оверлине{ДЦ}}\)
Сада ми остаје да се покаже да је БЕ = АБ.
Пошто је к мера угла АБД и ДБЦ, анализирајући угао АБЕ добијамо:
АБЕ = 180 - 2к
Ако је и мера угла ЕАБ, имамо следећу ситуацију:
Знамо да је збир унутрашњих углова троугла АБЕ је 180°, тако да можемо израчунати:
180 - 2к + к + и = 180
– к + и = 180 – 180
– к + и = 0
и = к
Ако угао к и угао и имају исту меру, троугао АБЕ је једнакокраки. Дакле, страница АБ = АЕ.
Пошто је збир унутрашњих углова троугла увек једнак 180°, у троуглу АЦЕ имамо:
х + 180 - 2х + у = 180
– к + и = 180 – 180
– к + и = 0
и = к
Пошто је и = к, троугао АЦЕ је једнакокраки. Дакле, сегменти АЕ и АЦ су подударни. Замена АЕ за АЦ ин разлог, доказано је да:
\(\фрац{\оверлине{АБ}}{\оверлине{АД}}=\фрац{\оверлине{БЦ}}{\оверлине{ДЦ}}\)
Пример:
Пронађите вредност к у следећем троуглу:
Анализирајући троугао, добијамо следећи однос:
\(\фрац{6}{3}=\фрац{8}{к}\)
Унакрсно множење:
6х = 8 ⋅ 3
6х = 24
\(к=\фрац{24}{6}\)
к = 4
Прочитајте такође: Значајне тачке троугла - шта су то?
Решене вежбе о теореми унутрашње симетрале
Питање 1
Гледајући троугао испод, можемо рећи да је вредност к:
а) 9
Б) 10
Ц) 11
Д) 12
Е) 13
Резолуција:
Алтернатива Д
Применом теореме унутрашње симетрале добијамо следећи прорачун:
\(\фрац{27}{30-к}=\фрац{18}{к}\)
Унакрсно множење:
\(27к=18\ \лево (30-к\десно)\)
\(27к\ =\ 540\ -\ 18к\ \)
\(27к\ +\ 18к\ =\ 540\ \)
\(45к\ =\ 540\ \)
\(к=\фрац{540}{45}\)
\(к\ =\ 12\)
питање 2
Анализирајте следећи троугао, знајући да су ваше мере дате у центиметрима.
Обим троугла АБЦ је једнак:
А) 75 цм
Б) 56 цм
В) 48 цм
Д) 24 цм
Е) 7,5 цм
Резолуција:
Алтернатива Ц
Примењујући теорему симетрале, прво ћемо пронаћи вредност к:
\(\фрац{2к}{5}=\фрац{4к-9}{7}\)
\(5\ \лево (4к-9\десно)=2к\цдот7\)
\(20к\ -\ 45\ =\ 14к\)
\(20к\ -\ 14к\ =\ 45\ \)
\(6к\ =\ 45\ \)
\(к=\фрац{45}{6}\)
\(к\ =\ 7,5\)
Дакле, непознате стране мере:
\(2\цдот7,5\ =\ 15\ \)
\(4\цдот7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Сећајући се да је дужина мерача коришћен је цм, тхе периметар овог троугла је једнако:
П = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 цм
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
наставник математике
Извор: Бразил школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm
