Вежбе на ПА и ПГ

Учити аритметичку и геометријску прогресију са решеним и коментарисаним вежбама корак по корак.

Вежба 1

У АП, а2 = 5 и а7 = 15. Нађите а4 и додајте првих пет чланова овог АП.

види одговор

Тачан одговор: а4 = 9 и С = 35.

Резолуција

1. корак: одредите разлог и а4.
Да бисмо напустили а2 и дошли до а7, додајемо 5р, пошто је то „растојање“ између 7 и 2.

а са 7 индекса је једнако а са 2 индекса плус 5 р 15 размака је једнако размака 5 размака плус размака 5 р 15 размак минус размак 5 размак је једнако 5 р 10 размак једнако размак 5 р 10 преко 5 је једнако р 2 једнако р

Термин а4 је појам а2 плус 2р, јер да бисмо дошли од а2 до а4, „напредујемо“ 2р. Ускоро,

а са 4 индекса једнако а са 2 индекса плус 2 р а са 4 индекса једнако 5 размака плус размака 2.2 а са 4 индекса једнако 5 размака плус размака 4 размака једнако размака 9

Дакле, четврти мандат АП је 9.

2. корак: одредити збир првих пет чланова овог АП.

Збир услова АП је дат са:

С је једнако бројивој левој загради а са 1 индексом плус а са н индексним десним заградама. н преко имениоца 2 крај разломка

а1 = а2 - р (јер се враћамо једну позицију уназад у ПА, почевши од а2)
а1 = 5 - 2 = 3

а5 = а7 - 2р (јер се враћамо две позиције уназад у ПА, почевши од а7).
а5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

С је бројилац лева заграда 3 размак плус размак 11 десна заграда.5 преко имениоца 2 крај разломка је бројилац 14 размак. размак 5 изнад имениоца 2 крај разломка је 70 преко 2 је једнако 35

Вежба 2

(Аеронаутика 2021) Професор је написао растућу аритметичку прогресију од 8 чланова почевши од броја 3 и која се састоји само од природних бројева. Затим је приметио да други, четврти и осми члан ове аритметичке прогресије формирају, тим редоследом, геометријску прогресију. Професор је такође приметио да је збир чланова ове геометријске прогресије једнак

instagram story viewer

а) 42
б) 36
в) 18
г) 9

види одговор

Одговор: а) 42

Према АП, термини који формирају ПГ су а2, а4 и а8:

а са 2 индекса једнако је а са 1 индексом плус лева заграда н минус 1 десна заграда р а са 2 индекс је једнак 3 плус лева заграда 2 минус 1 десна заграда р а са 2 индекса једнако 3 плус р простор

а са 4 индекса је једнако а са 1 индексом плус лева заграда 4 минус 1 десна заграда р а са 4 индекса једнако 3 размака плус размак 3 р

а са 8 индекса једнако је 3 плус лева заграда 8 минус 1 десна заграда р а са 8 индекса једнако 3 плус 7 р

Збир три члана је:

С је једнако а са 2 индекса плус а са 4 индекса плус а са 8 индекса С је једнако лева заграда 3 плус р десна заграда размак плус размак лева заграда 3 плус 3 р заграда десни размак плус размак лева заграда 3 плус 7 р десна заграда С је једнако 9 размак плус размак 11 р простор простор размак лева заграда и к у а циони размак И заграда јел тако

Да бисмо одредили р, користимо геометријску средину:

а са 4 индекса једнако је квадратном корену а са 2 индекса. а са 8 индексним крајем корена 3 плус 3 р једнако је квадратном корену леве заграде 3 плус р десне заграде. лева заграда 3 плус 7 р десни крај корена заграде

Квадратура обе стране

лева заграда 3 плус 3 р десна заграда на квадрат једнако је лева заграда 3 плус р десна заграда. лева заграда 3 плус 7 р десна заграда

Квадрирање првог члана и расподела другог члана:

лева заграда 3 плус 3 р десна заграда на квадрат једнако је лева заграда 3 плус р десна заграда. лева заграда 3 плус 7 р десна заграда 9 размак плус размак 18 р размак плус размак 9 р на квадрат је једнако 9 размак плус размак 21 р размак плус размак 3 р размак плус размак 7 р на квадрат 9 р на квадрат минус 7 р на квадрат је једнако 24 р простор минус простор 18 р простор плус простор 9 простор минус простор 9 2 р на квадрат је једнако 6 р р на квадрат једнако 3 р а. р простор је једнак размаку 3 р р простор је једнако бројиоцу 3 р преко имениоца р крај разломка је 3

Заменивши р у једначину И, имамо:

С простор је једнак размак 9 простор плус размак 11 р С простор је једнак размак 9 простор плус размак 11,3 С простор је једнак размак 9 простор плус размак 33 С простор је једнак размак 42

Дакле, збир прва три члана је једнак 42.

Вежба 3

(ПМ-СП 2019) Велика нафтна компанија је 2015. године започела процес поновне употребе воде која се користи за хлађење делова који израдио и направио пројекцију постепеног повећања, у аритметичкој прогресији, до 2050. године, количине воде која ће се поново користити из године у годину. године.

Табела приказује количине воде која се поново користи у прве 3 године:

Нека је Ан општи термин аритметичке прогресије који означава запремину поново коришћене воде, у милионима м³, са н = 1, представља запремину воде која је поново употребљена у 2016. години, н = 2, представља запремину воде која је поново употребљена у 2017. години, и тако даље сукцесивно.

Под овим условима човек мора

а) Ан = 0,5н – 23,5.
б) Ан = 23,5 + 0,5н.
в) Ан = 0,5н + 23.
г) Ан = 23 – 0,5н.
д) Ан = 0,5н - 23.

види одговор

Тачан одговор: в) Ан = 0,5н + 23.

објективан
Одредити Ан као функцију од н.

Резолуција
Однос аритметичке прогресије је 0,5, јер је 24 - 23,5 = 0,5.

а1 = 23,5

Општи термин АП је дат:

А са н индекса једнако је размаку а са 1 индексним размаком плус размак лева заграда н минус 1 десна заграда р

Замена вредности:

А са н индекса једнако 23 зарез 5 размак плус размак 0 зарез 5 н размак минус размак 0 зарез 5 А са н индекс једнако 0 зарез 5 н плус 23 размак

Вежба 4

(ЦЕДЕРЈ 2021) Низ (2к+3, 3к+4, 4к+5, ...) је аритметичка прогресија односа 6. Четврти термин ове прогресије је

а) 31.
б) 33.
в) 35.
г) 37.

види одговор

Тачан одговор: а) 31

Резолуција
р размак је једнак размаку а са 2 индекса минус а са 1 индексним индексом 6 размак је једнак размаку 3 к плус 4 размака минус заграда лево 2к плус 3 заграда десно 6 је једнако 3к плус 4 минус 2к минус 3 6 је једнако к плус 1к једнако 6 минус 1к једнако 5

Четврти члан је а3 + р, овако:

а са 4 индекса је једнако а са 3 индекса плус р а са 4 индекса једнако је 4 к размак плус размак 5 размак плус размак р

Замена пронађених вредности:

а са 4 индекса је једнако 4,5 размака плус размака 5 размака плус размака 6 а са 4 индекса једнако је 20 плус размака 5 размака плус размака 6 а са 4 индекса једнако је 31

Вежба 5

(Енем 2021) У Бразилу, време потребно да студент заврши обуку до дипломирања на вишем курсу, с обзиром на 9 година основне школе, 3 године средње школе и 4 године матуре (просечно време) износи 16 година стар. Међутим, реалност Бразилаца показује да је просечно време студирања људи старијих од 14 година и даље веома мало, као што је приказано у табели.
Табела повезана са решавањем питања.

Узмите у обзир да повећање времена студирања, у сваком периоду, за ове људе остаје константно до године 2050. и да је предвиђено да се достигне ниво од 70% времена потребног за добијање вишег курса. претходно.
Биће година у којој просечно време студирања старијих од 14 година достигне жељени проценат

а) 2018.
б) 2023.
в) 2031.
г) 2035.
д) 2043.

види одговор

Тачан одговор: г) 2035.

1. део: одреди 70% од 16.

70 процената знак размак 16 размак једнако размак 70 преко 100 знак множења 16 једнако 1120 преко 100 једнако 11 поена 2

2. део: одредити након колико периода ће се достићи 11,2 године студија.

Временски низ студије је аритметичка прогресија (АП) са односом од 0,6.

р = а2 - а1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

а1 = 5.2

Износ од 11,2 године биће достигнут у:

А са н индексом је једнако а са 1 индексом плус размак лева заграда н минус 1 десна заграда р 11 зарез 2 једнако 5 зарез 2 плус лева заграда н минус 1 десна заграда 0 зарез 6 11 зарез 2 једнако 5 зарез 2 плус 0 зарез 6 н минус 0 зарез 6 11 зарез 2 минус 5 зарез 2 плус 0 зарез 6 једнако 0 зарез 6 н 6 плус 0 зарез 6 једнако 0 зарез 6 н 6 зарез 6 једнако 0 зарез 6 н бројилац 6 зарез 6 преко имениоца 0 зарез 6 крај разломка је н 11 једнако н

Износ од 11,2 биће достигнут у 11. мандату ПА.

3. део: одреди који је 11. мандат ПА године.

Однос је а2 - а1 = 1999 - 1995 = 4 године

А са 11 индекса једнако је а са 1 индексом плус лева заграда н минус 1 десна заграда р А са 11 индекса једнако је 1995 плус лева заграда 11 минус 1 десна заграда 4 А са 11 индекса једнако је 1995 плус 10,4 А са 11 индекса једнако је 1995 размака плус размак 40 А са 11 индекса једнако 2035

Закључак
70% од 16 година потребних за завршетак основних студија биће достигнуто 2035.

Вежба 6

(Ватрогасна служба 2021) Авион и ватрогасно возило имају резервоаре за воду капацитета 12.000, односно 8.000 литара воде. Камион има пумпу од 2,5 ГПМ, што значи да је способан да пумпа 2,5 галона у минути.

Из ове хипотетичке ситуације просудите следећу ставку, с обзиром да је 1 галон једнак 3,8 литара воде.

Ако резервоар за воду има капацитет од Х хиљада литара, тако да су 8, Кс и 12 у геометријској прогресији, тим редоследом, онда је капацитет тог резервоара мањи од 10 хиљада литара.

Јел тако

Погрешно

види одговор

Тачан одговор: тачно

објективан
Проверите да ли је Кс < 10.

Резолуција
У геометријској прогресији, ПГ, средњи појам је геометријска средина између екстрема.

Кс мање од квадратног корена од 8,12 крај корена Кс простора мањи од квадратног корена од 96

У ствари, приближни квадратни корен од 96 је 9,79. Закључујемо да је капацитет Х резервоара мањи од 10 хиљада литара.

Вежба 7

(Аеронаутика 2021) Будите П.Г. (24, 36, 54, ...). Додавањем 5. и 6. члана овог Г.П. је било

а) 81/2
б) 405/2
ц) 1215/4
г) 1435/4

види одговор

Тачан одговор: в) 1215/4

објективан
Додајте а5 + а6

Резолуција

Корак 1: Одредите однос к.

Разлог за ПГ је:

к једнако а са 2 индекса преко а са 1 индексом једнако 36 преко 24 једнако 3 преко 2

Корак 2: Одредите а5

а4 = а3. к
а5 = а4. к

Замена а4 у а5:

а са 5 индексних размака је једнако размаку а са 3 индексна размака. простор к простор. размак к размак је једнак размаку а са 3 индексна размака. простор к на квадрат

Корак 3: Одредите а6

а6 = а5. к

Замена а5 у а6:

а са 6 индексних ознака једнако је а са 5 индексним размаком. размак к размак је једнак размаку а са 3 индексна размака. простор к на квадрат простора. размак к размак је једнак размаку а са 3 индексна размака. простор к куб

Корак 4: Додајте а5 + а6 замењујући нумеричке вредности.

а са 5 индекса плус а са 6 индекса једнако је а са 3 индекса. к размак на квадрат плус размак а са 3 индекса. к у коцки а са 5 индекса плус а са 6 индекса једнако је 54 размака. размак отвара заграду 3 преко 2 затвара заграду на квадрат плус размак 54 размак. размак отвара заграде 3 преко 2 затвара заграде коцкасте а са 5 индекса плус а са 6 индекса једнако је 54 размака. размак 9 преко 4 размак плус размак 54 размак. простор 27 преко 8

Стављање 54 у доказе:

а са 5 индекса плус а са 6 индекса једнако је 54 размака отвара заграде 9 преко 4 размака плус размака 27 преко 8 затвара заграде а са 5 индекса плус а са 6 индекса једнако 54 отвара заграде бројилац 9 простор. размак 8 изнад имениоца 4 размак. размак 8 крај разломка плус размак бројилац 27 размак. размак 4 преко имениоца 4 размак. размак 8 крај разломка затвара заграде а са 5 индекса плус а са 6 индекса једнако 54 отвара заграде 72 преко 32 плус 108 преко 32 затвара заграде а са 5 индекса плус а са 6 индекса је једнако 54 отвара заграде 180 преко 32 затвара заграде а са 5 индекса плус а са 6 индекса једнако је 54 простор. размак 180 преко 32 је једнако 9720 преко 32 је једнако 1215 преко 4

Вежба 8

(УЕРЈ 2019) Троуглови А1Б1Ц1, А2Б2Ц2, А3Б3Ц3, илустровани испод, имају периметре п1, п2, п3, респективно. Темена ових троуглова, почевши од другог, су средине страница претходног троугла.

признати да стег А са 1 индексом Б са 1 индексом са косом цртом изнад гомиле Б са 1 индексом Ц са 1 индексом са косом цртом изнад је једнако 7 размака и размаком А са 1 индексом Ц са 1 индексом са косом цртом изнад је једнако 4 .

Дакле, (п1, п2, п3) дефинише следећу прогресију:

а) аритметички однос = – 8
б) аритметички однос = – 6
в) геометријски однос = 1/2
г) геометријски однос = 1/4

види одговор

Тачан одговор: в) геометријски однос = 1/2

Резолуција

Корак 1: дефинисати периметре п1, п2 и п3.

п са 1 индексом једнако размаку А са 1 индексом Б са 1 индексом са косом цртом изнад плус размаком Б са 1 индексом Ц са 1 индексом са косом цртом изнад плус стек А са 1 индексом Ц са 1 индексом са косом цртом изнад п са 1 индексом је једнако 7 размака плус размака 7 размака плус размака 4 п са 1 индексом једнако је 18

Паралелизмом потврђујемо да су странице унутрашњег троугла половине непосредно спољашњег троугла.

На пример, Б2А2 = А1Ц2

Дакле, п2 је половина п1, као што је п3 половина п2. Имамо:

п са 2 индекса једнако п са 1 индексом подељеним са 2 једнако је 9 и п са 3 индекса једнако п са 2 индекса подељено са 2 једнако је 9 размаком подељеним са 2 једнако 4 зарезом 5

Корак 2: Саставите прогресију и класификујте је.

п са 1 размаком зарезом у индексу п са 2 размака за зарезом у индексу п са 3 размака за зарезом је једнако размаку 18 размаку зарезом 9 размаку зарезом 4 размаку 4

Испоставило се да се за одређивање п2 18 помножи са 1/2.

18 размак знак множење размак 1 половина је 9

Такође, 9 помножено са 1/2 је 4,5.

9 размак знак множење размак 1 половина је једнака 9 преко 2 једнако 4 зарез 5

Закључак
Проверавамо да је прогресија геометријска, са односом од 1/2.

Вежба 9

(Енем 2021) Графикон приказује производњу регистровану у индустрији у месецима јануару, марту и априлу.

Због логистичких проблема, анкета производње за месец фебруар није спроведена. Међутим, информације за остала три месеца сугеришу да је производња у овом четворомесечном периоду експоненцијално расла, као што показује крива тренда приказана на графикону.

Под претпоставком да је раст у овом периоду био експоненцијалан, може се закључити да је производња ове индустрије у фебруару месецу, у хиљадама јединица, била

а) 0.
б) 120.
в) 240.
г) 300.
д) 400.

види одговор

Тачан одговор: в) 240.

Резолуција

Општи члан ПГ је експоненцијал а као функција од н, где су а1 и к константни бројеви.