Факторизација од полиноми састоји се од метода развијених за преписивање полинома као производ између полинома. Напиши полином као множење између два или више фактора помаже у поједностављивању алгебарских израза и разумевању полинома.
Постоје различити случајеви факторинга, а за сваки од њих постоје специфичне технике.. Постојећи случајеви су: растављање на факторе по заједничком фактору у доказима, растављање на факторе груписањем, разлика између два квадрата, трином савршеног квадрата, збир две коцке и разлика две коцке.
Опширније:Шта је полином?
Резиме о факторинг полиномима
Факторизација полинома су технике које се користе за представљање полинома као производа између полинома.
Користимо ову факторизацију да поједноставимо алгебарски изрази.
-
Случајеви факторинга су:
Факторовање према заједничком фактору у доказима;
Факторовање груписањем;
трином савршеног квадрата;
разлика два квадрата;
збир две коцке;
Разлика две коцке.
Случајеви полиномског факторинга
Да разложимо полином, потребно је анализирати у који од случајева факторинга ситуација одговара
, који је: факторисање по заједничком фактору у доказима, факторисање груписањем, разлика између два квадрата, трином савршеног квадрата, збир две коцке и разлика две коцке. Хајде да видимо како извршити факторизацију у сваком од њих.Не заустављај се сада... Има још после огласа ;)
Уобичајени фактор у доказима
Користимо ову методу факторинга када постоји фактор заједнички за све чланове полинома. Овај заједнички фактор ће бити истакнут као један фактор, а други фактор, резултат дивизије термина тим заједничким фактором, биће стављени унутар заграда.
Пример 1:
20ки + 12к² + 8ки²
Анализирајући сваки члан овог полинома, могуће је видети да се к понавља у свим терминима. Такође, сви коефицијенти (20, 12 и 8) су вишекратници од 4, тако да је фактор заједнички за све чланове 4к.
Делећи сваки појам заједничким фактором, имамо:
20ки: 4к = 5и
12к²: 4к = 3к
8ки²: 4к = 2и²
Сада ћемо написати факторизацију стављајући заједнички фактор у доказе и сум од резултата који се налазе у заградама:
4к (5г + 3к + 2и²)
Пример 2:
2а²б² + 3а³б – 4а5б³
Анализирајући дословни део сваког појма, могуће је видети да се а²б понавља у свима њима. Имајте на уму да не постоји број који истовремено дели 2, 3 и – 4. Дакле, заједнички фактор ће бити само а²б.
2а²б²: а²б = 2б
3а³б: а²б = 3а
45б³: а²б = 4а³
Дакле, факторизација овог полинома ће бити:
а²б (2б + 3а + 4а³)
Погледајте такође: Сабирање, одузимање и множење полинома — разумете како се раде
груписање
Овај метод је користи се када не постоји заједнички фактор за све чланове полинома. У овом случају идентификујемо појмове који се могу груписати са заједничким фактором и истичемо их.
Пример:
Фактори следећи полином:
ак + 4б + бк + 4а
Груписаћемо појмове који имају а и б као заједнички фактор:
ак + 4а + бк + 4б
Стављајући а и б у доказе у смислу два по два, имамо:
а(к+4)+б(к+4)
Имајте на уму да су унутар заграда фактори исти, тако да можемо преписати овај полином као:
(а + б) (х + 4)
трином савршеног квадрата
Триноми су полиноми са 3 члана. Полином је познат као трином савршеног квадрата када јесте збир на квадрат или резултат на квадрат разлике, то је:
а² + 2аб + б² = (а + б) ²
а² – 2аб + б² = (а – б) ²
Важно: Неће сваки пут када постоје три члана овај полином бити савршен квадратни трином. Стога, пре спровођења факторизације, мора се проверити да ли се трином уклапа у овај случај.
Пример:
Фактор, ако је могуће, полином
к² + 10к + 25
Након анализе овог тринома, издвојићемо квадратни корен први и последњи термин:
\(\скрт{к^2}=к\)
\(\скрт{25}=5\)
Важно је проверити да ли је централни члан, односно 10к, једнак \(2\цдот\ к\цдот5\). Имајте на уму да је то заиста исто. Дакле, ово је савршени квадратни трином, који се може раставити на факторе:
к² + 10к + 25 = (к + 5)²
разлика два квадрата
Када имамо разлику од два квадрата, можемо чинити овај полином тако што ћемо га преписати као производ збира и разлике.
Пример:
Фактор полинома:
4к² – 36и²
Прво ћемо израчунати квадратни корен сваког од његових чланова:
\(\скрт{4к^2}=2к\)
\(\скрт{36и^2}=6и\)
Сада ћемо овај полином преписати као производ збира и разлике пронађених корена:
4к² – 36и² = (2к + 6и) (2к – 6и)
Прочитајте такође: Алгебарско израчунавање које укључује мономе — научите како се те четири операције дешавају
збир две коцке
Збир две коцке, односно а³ + б³, може се разложити као:
а³ + б³ = (а + б) (а² – аб + б²)
Пример:
Фактор полинома:
к³ + 8
Знамо да је 8 = 2³, па:
к³ + 8 = (к + 2) (к² - 2к + 2²)
к³ + 8 = (к + 2) (к² - 2к + 4)
Разлика две коцке
Разлика две коцке, односно а³ – б³, не за разлику од збира две коцке, може се раставити као:
а³ – б³ = (а – б) (а² + аб + б²)
Пример:
Одвојите полином
8к³ - 27
Знамо да је:
8к³ = (2к) ³
27 = 3³
Дакле, морамо:
\(8к^3-27=\лево (2к-3\десно)\)
\(8к^3-27=\лево (2к-3\десно)\лево (4к^2+6к+9\десно)\)
Решене вежбе о факторингу полинома
Питање 1
Коришћење полиномске факторизације за поједностављење алгебарског израза \(\фрац{к^2+4к+4}{к^2-4},\), наћи ћемо:
а) х + 2
Б) к - 2
Ц) \(\фрац{к-2}{к+2}\)
Д) \(\фрац{к+2}{к-2}\)
Е) (к - 2) (к + 2)
Резолуција:
Алтернатива Д
Гледајући бројилац, видимо да је к² + 4к + 4 случај савршеног квадратног тринома и да се може преписати као:
к² + 4к + 4 = (к + 2)²
Бројилац к² – 4 је разлика два квадрата и може се преписати као:
к² - 4 = (к + 2) (к - 2)
дакле:
\(\фрац{\лево (к+2\десно)^2}{\лево (к+2\десно)\лево (к-2\десно)}\)
Имајте на уму да се термин к + 2 појављује и у бројиоцу и у имениоцу, па је његово поједностављење дато на следећи начин:
\(\фрац{к+2}{к-2}\)
питање 2
(Унифил институт) С обзиром да су два броја, к и и, таква да су к + и = 9 и к² – и² = 27, вредност к је једнака:
а) 4
Б) 5
Ц) 6
Д) 7
Резолуција:
Алтернатива Ц
Имајте на уму да је к² – и² разлика између два квадрата и може се раставити као производ збира и разлике:
к² – и² = (к + и) (к – и)
Знамо да је к + и = 9:
(х + у) (х - у) = 27
9 (к - и) = 27
к - и = 27:9
к - и = 3
Тада можемо поставити а систем једначина:
Додавање два реда:
2к + 0 и = 12
2х = 12
к = \(\фрац{12}{2}\)
к = 6
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
наставник математике
