Вектор је репрезентација која одређује величину, правац и правац векторске величине. Вектори су равни сегменти оријентисани стрелицом на једном крају.
Векторе именујемо словом и малом стрелицом.
Вектори карактеришу векторске величине, а то су величине којима је потребна оријентација, односно правац и правац. Неки примери су: сила, брзина, убрзање и померање. Бројчана вредност није довољна, потребно је описати где ове величине делују.
модул вектора
Модул вектора, или интензитет, је његова нумеричка вредност, праћена мерном јединицом величине коју представља, на пример:
Означавамо модул између шипки држећи стрелицу или, само слово, без шипки и без стрелице.
Дужина вектора је пропорционална модулу. Већи вектор представља већи модул.
векторски модул је 4 јединице, док је вектор
је 2 јединице.
Правац вектора
Правац вектора је нагиб линије ослонца на којој је одређен. За сваки вектор постоји само један правац.
осећај вектора
Смер вектора је приказан стрелицом. Исти правац може да садржи два правца, као што су горе или доле и лево или десно.
Усвајајући правац као позитиван, супротан смер, негативан, представља се знаком минус испред векторског симбола.
Ресултинг Вецтор
Резултујући вектор је резултат векторских операција и еквивалентан је скупу вектора. Погодно је знати вектор који представља ефекат који производи више од једног вектора.
На пример, тело може бити подложно скупу сила и желимо да знамо какав ће резултат они произвести, сви заједно, на овом телу. Свака сила је представљена вектором, али резултат може бити представљен само једним вектором: резултујућим вектором.
Резултујући вектор, , хоризонталног правца и правца удесно, резултат је сабирања и одузимања вектора.
,
,
и
. Резултујући вектор показује тенденцију тела да се креће у овој оријентацији.
Вектори са вертикалним правцем имају исту величину, односно исти модул. Пошто имају супротна значења, поништавају једно друго. Ово показује да неће бити померања сандука у вертикалном правцу.
Приликом анализе вектора и
, које имају исти правац и супротне смерове, схватамо да део силе „остаје“ удесно, као вектор
је већи од
, односно модул од
већи је.
Да бисмо одредили резултујући вектор, вршимо векторске операције сабирања и одузимања.
Сабирање и одузимање вектора истог правца
Витх једнака чула, додајемо модуле и задржавамо правац и правац.
Пример:
Графички постављамо векторе у низу, без промене њихових модула. Почетак једног мора да се поклапа са крајем другог.
Комутативно својство сабирања је важеће, пошто редослед не мења резултат.
Витх супротна чула, одузимамо модуле и задржавамо правац. Смер резултујућег вектора је онај вектора са највећим модулом.
Пример:
вектор је преостали део
, након повлачења
.
Одузимање једног вектора је еквивалентно сабирању са супротним од другог.
Сабирање и одузимање окомитих вектора
Да бисмо сабрали два вектора са окомитим правцима, померамо векторе без промене њиховог модула, тако да се почетак једног поклапа са крајем другог.
Добијени вектор повезује почетак првог са крајем другог.
Да бисмо одредили величину резултујућег вектора између два окомита вектора, поклапамо почетак два вектора.
Модул резултујућег вектора је одређен Питагорином теоремом.
Сабирање и одузимање косих вектора
Два вектора су коса када формирају угао између својих праваца који није 0°, 90° и 180°. За додавање или одузимање косих вектора користе се методе паралелограма и полигоналне линије.
метода паралелограма
Да бисмо извршили метод, или правило, паралелограма између два вектора и нацртали резултујући вектор, следимо ове кораке:
Први корак је позиционирање њиховог почетка у истој тачки и цртање линија паралелних векторима да би се формирао паралелограм.
Други је да нацртате дијагонални вектор на паралелограму, између уније вектора и уније паралелних правих.
Испрекидане линије су паралелне векторима, а формирана геометријска фигура је паралелограм.
Добијени вектор је линија која повезује почетак вектора са паралелама.
О модул резултујућег вектора добија се косинусним законом.
Где:
Р је величина резултујућег вектора;
а је векторски модул ;
б је модул вектора ;
је угао формиран између праваца вектора.
Метода паралелограма се користи за додавање пара вектора. Ако желите да додате више од два вектора, морате их додати два по два. Вектору који је резултат збира прва два, додајемо трећи и тако даље.
Други начин за додавање више од два вектора је коришћење методе полигоналне линије.
метода полигоналне линије
Метода полигоналне линије се користи за проналажење вектора који настаје додавањем вектора. Овај метод је посебно користан када се додаје више од два вектора, као што су следећи вектори ,
,
и
.
Да бисмо користили ову методу, морамо поређати векторе тако да се крај једног (стрелица) поклапа са почетком другог. Важно је сачувати модул, правац и правац.
Након сређивања свих вектора у облику полигоналне линије, морамо пратити резултујући вектор који иде од почетка првог до краја последњег.
Важно је да резултујући вектор затвара полигон, при чему се његова стрелица поклапа са стрелицом у последњем вектору.
Комутативно својство је валидно, пошто редослед којим постављамо плот-векторе не мења резултујући вектор.
векторска декомпозиција
Декомпоновати вектор значи написати компоненте које чине овај вектор. Ове компоненте су други вектори.
Сваки вектор се може написати као композиција других вектора, преко векторске суме. Другим речима, вектор можемо написати као збир два вектора, које називамо компонентама.
Користећи Декартов координатни систем, са окомитим к и и осама, одређујемо компоненте вектора.
вектор је резултат збира вектора између компонентних вектора.
и
.
вектор тилт
формира правоугли троугао са к осом. Дакле, помоћу тригонометрије одређујемо модуле компонентних вектора.
Компонентни модул ак.
Компонентни модул аи.
векторски модул добија се из Питагорине теореме.
Пример
Сила се изводи повлачењем блока са земље. Сила модула од 50 Н је нагнута за 30° од хоризонтале. Одредити хоризонталну и вертикалну компоненту ове силе.
Подаци:
Множење реалног броја вектором
Множењем реалног броја вектором, резултат ће бити нови вектор, који има следеће карактеристике:
- Исти правац ако је реалан број различит од нуле;
- Исти смер, ако је реалан број позитиван, а у супротном смеру ако је негативан;
- Модул ће бити производ модула реалног броја и модула помноженог вектора.
Производ између реалног броја и вектора
Где: је вектор добијен множењем;
је прави број;
је вектор који се множи.
Пример
Нека је реалан број н = 3 и вектор од модула 2, производ између њих је једнак:
Прорачун модула
Правац и правац ће бити исти.
Вежба 1
(Енем 2011) Сила трења је сила која зависи од контакта између тела. Може се дефинисати као сила супротна тенденцији померања тела и настаје услед неправилности између две површине у контакту. На слици, стрелице представљају силе које делују на тело, а увећана тачка представља неправилности које постоје између две површине.
На слици вектори који представљају силе које изазивају померање и трење су, респективно:
Тхе) 
Б) 
ц) 
д) 
и) 
Тачан одговор: слово а) 
Стрелице представљају векторе сила које делују у кретању у хоризонталном правцу, будући да су пар акција-реакција, имају супротне смерове.
Вертикалне стрелице представљају дејства силе тежине и нормалне силе и, пошто су једнаке, поништавају једна другу, без померања у вертикалном правцу.
Вежба 2
(УЕФС 2011) Векторски дијаграм на слици приказује силе које делују две гумене траке на зуб особе која је подвргнута ортодонтском лечењу.
Под претпоставком да је Ф = 10,0Н, сен45° = 0,7 и цос45° = 0,7, интензитет силе примењене еластикама на зуб, у Н, је једнак
а) 3√10
б) 2√30
в) 2√85
г) 3√35
д) 2√45
Тачан одговор: в) 2√85
Интензитет силе примењене на зуб добија се по закону косинуса.
а и б једнаки су 10 Н.
Факторисањем квадратног корена добијамо:
Дакле, интензитет резултујуће силе коју примењују гумене траке на зуб је .
Вежба 3
(ПУЦ РЈ 2016) Силе Ф1, Ф2, Ф3 и Ф4, на слици, праве углове једна према другој и њихови модули су, респективно, 1 Н, 2 Н, 3 Н и 4 Н.
Израчунајте модул нето силе, у Н.
а) 0
б) √2
ц) 2
г) 2√ 2
д) 10
Тачан одговор: г) 2√ 2
Користимо метод полигоналне линије да одредимо резултујући вектор. Да бисмо то урадили, преуређујемо векторе тако да се крај једног поклапа са почетком другог, овако:
Користећи координатни систем са пореклом на почетку резултујућег вектора, можемо одредити модуле његових компоненти, на следећи начин:
Дакле, морамо да:
Ри = 3 - 1 = 2 Н
Рк = 4 - 2 = 2 Н
Величина резултујућег вектора одређена је Питагорином теоремом.
Дакле, модул нето силе је једнак .
Сазнајте више о
- Вектори: сабирање, одузимање и декомпозиција.
- Векторске количине
✖
