Експоненцијална функција: 5 коментарисаних вежби

ТХЕ експоненцијална функција је свака функција ℝ у ℝ^*_+, дефинисано ф (к) = а^Икс, где је а стварни број, већи од нуле и није једнак 1.

Искористите коментарисане вежбе да бисте очистили све сумње у вези са овим садржајем и обавезно проверите своје знање у решеним питањима такмичења.

Коментарисане вежбе

Вежба 1

Група биолога проучава развој одређене колоније бактерија и утврдио да се у идеалним условима број бактерија може наћи изразом Н (т) = 2000. 2^0,5т, бити т у сатима.

Узимајући у обзир ове услове, колико дуго ће након почетка посматрања број бактерија бити једнак 8192000?

Решење

У предложеној ситуацији знамо број бактерија, односно знамо да је Н (т) = 8192000 и желимо да пронађемо вредност т. Дакле, само замените ову вредност у датом изразу:

Да бисмо решили ову једначину, напишимо број 4096 у просте факторе, јер ако имамо исту базу, можемо изједначити експоненте. Стога, рачунајући број, имамо:

Тако ће култура имати 8 192 000 бактерија након 1 дана (24 сата) од почетка посматрања.

Вежба 2

Радиоактивни материјали имају природну тенденцију да временом распадају своју радиоактивну масу. Време потребно да се половина његове радиоактивне масе распадне назива се њеним полуживотом.

Количина радиоактивног материјала датог елемента дата је:

Бити,

Н (т): количина радиоактивног материјала (у грамима) у одређеном времену.
Н.₀: почетна количина материјала (у грамима)
Т: време полураспада (у годинама)
т: време (у годинама)

Узимајући у обзир да је време полураспада овог елемента једнако 28 година, одредите време потребно за смањење радиоактивног материјала на 25% његове почетне количине.

Решење

За предложену ситуацију А (т) = 0,25 А₀ = 1/4 А.₀, тако да можемо написати дати израз, замењујући Т за 28 година, а затим:

Стога ће бити потребно 56 година да се количина радиоактивног материјала смањи за 25%.

Питања за такмичење

1) Унесп - 2018

Ибупрофен је прописани лек за бол и врућицу, са полуживотом од приближно 2 сата. То значи да ће, на пример, после 2 сата узимања 200 мг ибупрофена, само 100 мг лека остати у крвотоку пацијента. После још 2 сата (укупно 4 сата), у крвотоку ће остати само 50 мг и тако даље. Ако пацијент прима 800 мг ибупрофена сваких 6 сати, количина овог лека која ће остати у крвотоку 14. сата након узимања прве дозе биће

а) 12,50 мг
б) 456,25 мг
ц) 114,28 мг
д) 6,25 мг
е) 537,50 мг

Погледајте одговор

Како се почетна количина лекова у крвотоку свака 2 сата дели на пола, можемо представити ову ситуацију користећи следећу шему:

Имајте на уму да је експонент у свакој ситуацији једнак времену подељеном са 2. Тако можемо одредити количину лекова у крвотоку у зависности од времена, користећи следећи израз:

Бити

К (т): количина у датом сату
К₀: почетна количина унета
т: време у сатима

С обзиром да се узимало 800 мг ибупрофена сваких 6 х, онда имамо:

Да бисмо пронашли количину лекова у крвотоку 14 сати након уноса 1. дозе, морамо додати количине које се односе на 1., 2. и 3. дозу. Израчунавајући ове количине, имамо:

Количина 1. дозе ће се наћи с обзиром на време 14 сати, тако да имамо:

За другу дозу, као што је приказано на горњем дијаграму, време је било 8 сати. Замењујући ову вредност, имамо:

Време за 3. дозу биће само 2 сата. Количина која се односи на 3. дозу тада ће бити:

Сада када знамо количине за сваку унесену дозу, можемо да пронађемо укупну количину додавањем сваке пронађене количине:

К_укупно= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 мг

Алтернатива б) 456,25 мг

2) УЕРЈ - 2013

Језеро којим се опскрбљивао град загађено је након индустријске несреће, достигавши ниво токсичности Т.₀, што одговара десет пута већем од почетног нивоа.
Прочитајте доленаведене информације.

• Природни проток језера омогућава обнављање 50% његове запремине сваких десет дана.
• Ниво токсичности Т (к), након к дана несреће, може се израчунати помоћу следеће једначине:

Сматрајте Д најмањим бројем дана обуставе водоснабдевања, неопходним да би се токсичност вратила на почетни ниво.
Ако је лог 2 = 0,3, вредност Д је једнака:

а) 30
б) 32
ц) 34
д) 36

Погледајте одговор

Да би се вратио на почетни ниво токсичности потребно је да:

Заменом ове вредности у датој функцији имамо:

Множећи се у „крст“, једначина постаје:

2 ^0,1к= 10

Применимо логаритам базе 10 на обе стране да бисмо га претворили у једначину 1. степена:

лог (2^0,1к) = лог 10

Имајући у виду да је дневник 10 у основи 10 једнак 1, наша једначина ће изгледати овако:

0,1к. лог 2 = 1

Узимајући у обзир да је лог 2 = 0,3 и замењујући ову вредност у једначини:

Дакле, најкраћи број дана, отприлике, када би се снабдевање требало обуставити је 34 дана.

Алтернатива в) 34

3) Фувесп - 2018

Нека су ф: ℝ → ℝ и г: ℝ₊ → ℝ дефинисано са

редом.

Графикон композитне функције г_ºвера:

Погледајте одговор

Графикон који тражите је композитна функција г_ºф, дакле, први корак је одређивање ове функције. За ово морамо заменити функцију ф (к) у к функције г (к). Извршивши ову замену, наћи ћемо:

Користећи својство логаритма количника и потенције, имамо:

Имајте на уму да је горе пронађена функција типа ак + б, што је афина функција. Дакле, ваш графикон ће бити равна линија.

Такође, нагиб а једнак је лог₁₀ 5, што је позитиван број, па ће се графикон повећавати. На тај начин можемо елиминисати опције б, ц и е.

Преостају нам опције а и д, међутим, када је к = 0 имамо гоф = - лог₁₀ 2 што је негативна вредност представљена на графикону а.

Алтернатива а)

4) Уницамп - 2014

Графикон испод приказује криву биотског потенцијала к (т) за популацију микроорганизама током времена т.

С обзиром да су а и б стварне константе, функција која може представљати овај потенцијал јесте

а) к (т) = при + б
б) к (т) = аб^т
ц) к (т) = ат² + бт
д) к (т) = а + лог _Б. т

Погледајте одговор

Из приказаног графикона можемо препознати да је када је т = 0 функција једнака 1000. Даље, такође је могуће приметити да функција није афинна, јер граф није равна линија.

Да је функција типа к (т) = ат²+ бт, када је т = 0, резултат би био једнак нули, а не 1000. Дакле, то није ни квадратна функција.

Како се пријавити_Б.0 није дефинисано, такође не може као одговор имати функцију к (т) = а + лог_Б.т.

Дакле, једина опција била би функција к (т) = аб^т. Узимајући у обзир т = 0, функција ће бити к (т) = а, пошто је а константна вредност, довољно је да је једнака 1000 да функција одговара датом графу.

Алтернатива б) к (т) = аб^т

5) Енем (ППЛ) - 2015

Синдикат радника компаније предлаже да ниво плата у класи буде 1.800,00 Р $, предлажући фиксни проценат повећања за сваку годину посвећену послу. Израз који одговара предлозима за плату, у функцији радног стажа (т), у годинама, је с (т) = 1800. (1,03)^т .

Према предлогу синдиката, зарада професионалца из ове компаније са 2 године радног стажа биће, у реалијима,

а) 7 416,00
б) 3.819,24
в) 3.709,62
г) 3.708,00
е) 1.909,62.

Погледајте одговор

Израз за израчунавање плате у функцији времена који је предложио синдикат одговара експоненцијалној функцији.

Да бисмо пронашли вредност зараде у назначеној ситуацији, израчунајмо вредност с, када је т = 2, као што је наведено доле:

с (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

Алтернатива д) 1 909,62

Прочитајте и ви:

• Експоненцијална функција
• Логаритам
• Логаритам - вежбе
• Својства логаритма
• Потенцијација
• вежбе за потенцирање
• Афина функција
• Линеарна функција
• Вежбе повезане функције
• Квадратна функција
• Квадратна функција - вежбе
• Математичке формуле