Транспонована матрица: дефиниција, својства и вежбе

Транспоновање матрице А је матрица која има исте елементе као и А, али је смештена у другачији положај. Добија се редним транспортовањем елемената из линија А у колоне транспоновања.

Према томе, дата матрица А = (а_иј)_мкн транспозиција А је А.^т = (а ’_ји) _{н к м}.

Бити,

и: положај линије
ј: положај колоне
Тхе_иј: елемент низа на положају иј
м: број редова матрице
н: број колона у матрици
ТХЕ^т: транспонована матрица А.

Приметимо да је матрица А реда м к н, док је њена транспозиција А^т је реда н к м.

Пример

Пронађите матрицу транспоновану из матрице Б.

Како је дата матрица типа 3к2 (3 реда и 2 колоне), њено транспоновање биће типа 2к3 (2 реда и 3 колоне).
Да бисмо изградили транспоновану матрицу, све колоне Б морамо написати као редове Б^т. Као што је назначено на доњем дијаграму:

Тако ће транспонована матрица Б бити:

Види и ти: Матрице

Транспонована својства матрице

(ТХЕ^т)^т= А: Ово својство указује да је транспонована транспонована матрица изворна матрица.
(А + Б)^т = А^т + Б^т: транспоновање збира две матрице једнако је збиру транспоновања сваке од њих.

instagram story viewer

(ТХЕ. Б)^т = Б.^т. ТХЕ^т: транспозиција множења две матрице једнака је производу транспоновања сваке од њих, обрнутим редоследом.
дет (М) = дет (М.^т): одредница транспоноване матрице једнака је одредници изворне матрице.

Симетрична матрица

Матрица се назива симетричном када је за било који елемент матрице А једнакост а_иј = тхе_ји истина је.

Матрице овог типа су квадратне матрице, односно број редова је једнак броју колона.

Свака симетрична матрица задовољава следећи однос:

А = А^т

Насупрот матрици

Важно је не заменити супротну матрицу са транспонованом. Супротна матрица је она која садржи исте елементе у редовима и колонама, међутим, са различитим предзнацима. Дакле, супротност Б је –Б.