Матрице: коментарисане и решене вежбе

Матрица је табела коју чине реални бројеви, поређани у редове и колоне. Бројеви који се појављују у матрици називају се елементи.

Искористите решена и коментарисана питања пријемног испита да бисте очистили све сумње у вези са овим садржајем.

Решена питања пријемног испита

1) Уницамп - 2018

Нека су а и б стварни бројеви такви да је матрица А = задовољава једначину А.²= аА + бИ, где је И идентитетска матрица реда 2. Дакле, производ аб је једнак

а) −2.
б) −1.
ц) 1.
д) 2.

Погледајте одговор

Да бисмо сазнали вредност производа а.б, прво морамо знати вредност а и б. Па размотримо једначину дату у задатку.

Да бисмо решили једначину, израчунајмо вредност А.², што се постиже множењем матрице А само по себи, то јест:

Ова операција се врши множењем редова прве матрице са ступцима друге матрице, као што је приказано доле:

На овај начин матрица А.² то је исто као:

Узимајући у обзир вредност коју смо управо пронашли и сећајући се да су у матрици идентитета елементи главне дијагонале једнаки 1, а остали елементи једнаки 0, једначина ће бити:

Матрицу А сада морамо помножити бројем а, а матрицу идентитета бројем б.

Запамтите да за множење броја низом множимо број са сваким елементом низа.

Тако ће наша једнакост бити једнака:

Сабирањем две матрице имамо:

Две матрице су једнаке када су сви одговарајући елементи једнаки. На овај начин можемо написати следећи систем:

Изоловање а у другој једначини:

Заменом вредности пронађене за а у првој једначини, проналазимо вредност б:

2 + б = 1
б = 1 - 2
б = -1

Тако ће производ добити:

Тхе. б = - 1. 2
Тхе. б = - 2

Алтернатива: а) −2.

2) Унесп - 2016

Тачка П, са координатама (к, и) правокутне картезијанске равни, представљена је матрицом колоне. , као и матрица колоне представља у правокутној картезијанској равни тачку П координата (к, и). Дакле, резултат множења матрице је матрица стубаца која у правокутној картезијанској равни нужно представља тачку која је

а) ротација П за 180º у смеру казаљке на сату и са центром на (0, 0).
б) ротација П за 90 ° у смеру супротном од кретања казаљке на сату, са центром на (0, 0).
в) симетрично П у односу на хоризонталну к осу.
г) симетрично П у односу на вертикалну осу и.
е) ротација П за 90º у смеру казаљке на сату и са центром на (0, 0).

Погледајте одговор

Тачка П је представљена матрицом, тако да је апсциса (к) означена елементом а.₁₁ а ордината (и) елементом а₂₁ матрице.

Да бисмо пронашли нови положај тачке П, морамо решити множење представљених матрица и резултат ће бити:

Резултат представља нову координату тачке П, односно апсциса је једнака -и, а ордината к.

Да бисмо идентификовали трансформацију подвргнуту положају тачке П, представимо ситуацију у картезијанској равни, као што је назначено доле:

Стога се тачка П, која се испрва налазила у 1. квадранту (позитивна апсциса и ордината), преселила у 2. квадрант (негативна апсциса и позитивна ордината).

Приликом померања у овај нови положај, тачка је ротирана у смеру супротном од кретања казаљке на сату, као што је на горњој слици представљено црвеном стрелицом.

Још увек морамо да идентификујемо која је била вредност угла ротације.

Повезујући првобитни положај тачке П са средиштем картезијанске осе и радећи исто у односу на њен нови положај П ', имамо следећу ситуацију:

Имајте на уму да су два троугла назначена на слици сукладна, односно имају иста мерења. На тај начин су и њихови углови једнаки.

Поред тога, углови α и θ се допуњују, јер је збир унутрашњих углова троуглова једнак 180º, а пошто је троугао правоугли, зброј ова два угла биће једнак 90º.

Дакле, угао ротације тачке, означен на слици са β, може бити једнак само 90º.

Алтернатива: б) ротација П за 90 ° у смеру супротном од кретања казаљке на сату, са центром на (0, 0).

3) Уницамп - 2017

С обзиром да је а реалан број, размотримо матрицу А = . Дакле²⁰¹⁷ исто је као
Тхе)
Б)
ц)
д)

Погледајте одговор

Прво, покушајмо да пронађемо образац за моћи, пошто је пуно рада множити матрицу А саму по себи 2017 пута.

Сећајући се да се у множењу матрица сваки елемент проналази додавањем резултата множења елемената у реду једног елементима у колони другог.

Почнимо од израчунавања А.²:

Резултат је била матрица идентитета, а када помножимо било коју матрицу матрицом идентитета, резултат ће бити сама матрица.

Према томе, вредност А.³ ће бити једнако самој матрици А, јер А.³ = А². ТХЕ.

Овај резултат ће се поновити, односно када је експонент паран, резултат је матрица идентитета, а када је непаран, то ће бити сама матрица А.

С обзиром да је 2017. година непарна, тада ће резултат бити једнак матрици А.

Алтернатива: б)

4) УФСМ - 2011

Дати дијаграм представља поједностављени ланац исхране датог екосистема. Стрелице означавају врсте којима се друге врсте хране. Приписујући вредност 1 када се једна врста храни другом и нула, када се догоди супротно, имамо следећу табелу:

Матрица А = (а_иј)_4к4, повезан са табелом, има следећи закон о обуци:

Погледајте одговор

Будући да је број реда означен са и, а број колоне означен са ј, и гледајући табелу, примећујемо да када је и једнако ј, или је и веће од ј, резултат је нула.

Позиције које заузимају 1 су оне на којима је број колоне већи од броја линије.

Алтернатива: ц)

5) Унесп - 2014

Размотримо матричну једначину А + БКС = Кс + 2Ц, чија је непознаница матрица Кс и све матрице су квадрата реда н. Неопходан и довољан услов да би ова једначина имала једно решење је да:

а) Б - И = О, где је И идентитетска матрица реда н, а О је нулта матрица реда н.
б) Б је обрнуто.
ц) Б = О, где је О нулта матрица реда н.
д) Б - И је инвертибилан, где сам И матрица идентитета реда н.
д) А и Ц су обрнути.

Погледајте одговор

Да бисмо решили матричну једначину, треба да изолујемо Кс на једној страни знака једнакости. Да бисмо то урадили, у почетку одузмимо матрицу А са обе стране.

А - А + БКС = Кс + 2Ц - А
БКС = Кс + 2Ц - А.

А сада, одузмимо Кс, такође са обе стране. У овом случају једначина ће бити:

БКС - Кс = Кс - Кс + 2Ц - А
БКС - Кс = 2Ц - А.
Кс. (Б - И) = 2Ц - А.

Пошто сам матрица идентитета, када помножимо матрицу са идентитетом, резултат је сама матрица.

Дакле, да бисмо изоловали Кс сада морамо помножити обе стране знака једнакости инверзном матрицом (Б-И), то јест:

Кс. (Б - И). (Б - И) ^{- 1} = (Б - И) ^{- 1}. (2Ц - А)

Имајући у виду да је када је матрица инвертибилна, производ матрице по инверзи једнак матрици идентитета.
Кс = (Б - И) ^{- 1}. (2Ц - А)

Дакле, једначина ће имати решење када је Б - И инвертибилан.

Алтернатива: д) Б - И је инвертибилан, где сам И матрица идентитета реда н.

6) Енем - 2012

Студент је двомјесечно оцјењивао неке од својих предмета у табелу. Приметио је да су нумерички уноси у табели формирали 4к4 матрицу и да је могао да израчуна годишњи просек за ове дисциплине користећи производ матрица. Сви тестови су имали исту тежину, а табела коју је добио приказана је испод

Да би добио ове просеке, помножио је матрицу добијену из табеле са

Погледајте одговор

Аритметичка средина израчунава се додавањем свих вредности и дељењем са бројем вредности.

Тако студент мора додати оцене од 4 биместра и поделити резултат са 4 или помножити сваку оцену са 1/4 и додати све резултате.

Користећи матрице, исти резултат можемо постићи множењем матрица.

Међутим, морамо запамтити да је могуће помножити две матрице само када је број колона у једној једнак броју редова у другој.

Како матрица бележака има 4 колоне, матрица коју ћемо множити мора имати 4 реда. Дакле, морамо помножити са матрицом колоне:

Алтернатива: и

7) Фувест - 2012

Размотримо матрицу , на шта Тхе је реалан број. Знајући да А признаје обрнуто А.^-1 чија је прва колона , збир елемената главне дијагонале А^-1 исто је као

а) 5
б) 6
ц) 7
д) 8
е) 9

Погледајте одговор

Множење матрице са њеном инверзном једнако је матрици идентитета, па ситуацију можемо представити следећом операцијом:

Решавајући множење другог реда прве матрице првом колоном друге матрице, имамо следећу једначину:

(до 1). (2а - 1) + (а + 1). (- 1) = 0
2нд² - а - 2а + 1 + (-а) + (-1) = 0
2нд² - 4. = 0
2. (а - 2) = 0
а - 2 = 0
а = 2

Замењујући вредност а у матрици, имамо:

Сад кад знамо матрицу, израчунајмо њену одредницу:

Дакле, зброј главне дијагонале биће једнак 5.

Алтернатива: а) 5

Да бисте сазнали више, погледајте такође:

• Матрице
• Одреднице
• Саррусово правило
• Лаплацеова теорема
• Транспонована матрица