Коментарисане вежбе тригонометрије у правоуглом троуглу

Тригонометрија је важна тема у математици која поред осталих тригонометријских функција омогућава познавање страница и углова у правоуглом троуглу, кроз синус, косинус и тангенту.

Да бисте побољшали своје студије и проширили своје знање, следите листу од 8 вежби, плус 4 питања за пријемни испит, која се решавају корак по корак.

Вежба 1

Посматрајући ујутро сенку зграде на земљи, једна особа је открила да је она мерила 63 метра када су сунчеви зраци направили угао од 30 ° са површином. На основу ових података израчунајте висину зграде.

Тачан одговор: Приближно 36,37 м.

Зграда, сенка и сунчев зрак одређују правоугли троугао. Користећи угао од 30 ° и тангенту, можемо одредити висину зграде.

тан г е н т е простор једнак бројилу спаце ц а т е т о спаце о по с т о овер именитељ ц а т е спаце а д ј а ц е н т е енд оф фрацтион

С обзиром да је висина зграде х, имамо:

тан простор 30 степени простор простора једнак простору х преко 63 простор простор х простор једнак простору 63 простор множења знак простор простор тан размак знак 30 степени размак простор размак простор х размак једнак простору 63 размак множење знак размак простор бројник квадратни корен од 3 око називник 3 крај разломка х размак једнак размаку 21 квадратни корен од 3 размака м х размак приближно једнак размаку 36 зарез 37 размак м

Вежба 2

На обиму пречника 3, сегмент АЦ, који се назива тетива, формира угао од 90 ° са другом тетивом ЦБ исте дужине. Која је мера жица?

Тачан одговор: Дужина ужета је 2,12 цм.

Како сегменти АЦ и ЦБ чине угао од 90 ° и имају исту дужину, формирани троугао је једнакокрак, а основни углови су једнаки.

Будући да је збир унутрашњих углова троугла једнак 180 ° и већ имамо угао од 90 °, остало је још 90 ° које треба поделити подједнако између два основна угла. Дакле, њихова вредност је једнака по 45º.

Пошто је пречник једнак 3 цм, полупречник је 1,5 цм и помоћу косинуса од 45 ° можемо одредити дужину жице.

цос простор простор од 45 степени знак једнак размаку 1 зарез 5 преко називника ц о р д крај разломка ц о р д простор једнак простору бројилац 1 зарез 5 преко називника цос размак знак од 45 степени крај разломка ц или д размак једнак размаку бројилац 1 зарез 5 преко називника почетак стила прикажи бројилац квадратни корен од 2 над називником 2 крај разломка крај стила крај разломка ц о р д размак је једнак размаку 1 зарез 5 знак за размножавање размака размакник број 2 преко називника квадратни корен од 2 краја разломка ц или д приближно једнак размак 2 зарез 12 простор цм

Вежба 3

Бициклиста који учествује у шампионату приближава се циљу на врху падине. Укупна дужина овог последњег дела испитивања је 60 м, а угао формиран између рампе и хоризонтале је 30 °. Знајући то, израчунајте вертикалну висину коју бициклиста треба да се попне.

Тачан одговор: Висина ће бити 30 м.

Позивајући висину х, имамо:

с и н размак 30. размак једнак размаку бројилац х размак над називником 60 крај разломка размак простор х размак једнак размаку 60 размак знак простор за множење с и н 30 степени простор простор х простор једнак простору 60 простор простор множења знак простор 1 получасов простор једнак простору 30 м простора

Вежба 4

Следећу фигуру чине три троугла где висина х одређује два права угла. Вредности елемента су:

α = 30°
β = 60°
х = 21

Наћи вредност а + б.

Прави одговор:

28 квадратних корена из 3

Мерења сегмената а и б можемо одредити помоћу тангенти задатих углова.

Израчун:

тан простор алфа простор једнак простору а преко х размак простор а простор једнак простору х простор знак множења простор простор тан алфа простор простор простор а простор једнак размаку 21 знак множења размака размак бројилац квадратни корен од 3 над називником 3 крај разломка простор једнак 7 квадратних корена од 3

Израчун б:

тан простор бета простор једнак размаку бројилац б размак над називником х размак крај разломка б размак једнак размаку х размак знак простор за множење тан простор бета б простор једнак простору 21 простор знак множења простор квадратни корен од 3 б простор једнак 21 корену квадрат од 3

Тако,

размак плус размак б размак је једнак размаку 28 квадратних корена из 3

Вежба 5

Авион је полетео из града А и прелетео 50 км праволинијски док није слетео у град Б. После је прелетео још 40 км, овог пута према граду Д. Ове две руте су међусобно под углом од 90 °. Међутим, због неповољних временских услова, пилот је из контролног торња добио комуникацију у којој га обавештава да не може да слети у град Д и да треба да се врати у град А.

Да би заокренуо из тачке Ц, пилот би морао да скрене за колико степени удесно?

Размотрити:

грех 51 ° = 0,77
цос 51 ° = 0,63
препланули 51 ° = 1,25

Тачан одговор: Пилот мора да скрене за 129 ° удесно.

Анализирајући лик, видимо да путања формира правоугли троугао.

Назовимо угао који тражимо В. Углови В и З су допунски, односно чине плитки угао од 180 °.

Дакле, В + З = 180 °.

Ш = 180 - З (једначина 1)

Наш задатак је сада да одредимо З угао и за то ћемо користити његову тангенту.

препланули простор З размак једнак размаку 50 преко 40 препланули простор З размак једнак размаку 1 зарез 25

Морамо се запитати: Који је угао чија је тангента 1,25?

Проблем нам даје ове податке, тан 51 ° = 1,25.

Ова вредност се такође може наћи у тригонометријској табели или помоћу научног калкулатора, користећи функцију:

тан у потенцију од минус 1 крај експоненцијалног

Замењујући вредност З у једначини 1, имамо:

Ш = 180 ° - 51 ° = 129 °

Вежба 6

Зрак монохроматске светлости при преласку из једног медија у други трпи одступање према њему. Ова промена у његовом ширењу повезана је са индексима преламања медија, као што је приказано у следећем односу:

Снелл-ов закон - Десцартес

с и н размак р размак к размак н са 2 размака индекса једнак размаку с и н размак и простор к размак н са 1 индексом

Где су и и р углови упада и преламања и, н1 и н2, индекси преламања средстава 1 и 2.

Када удари у површину раздвајања између ваздуха и стакла, зрак светлости мења свој смер, као што је приказано на слици. Који је индекс преламања стакла?

Подаци: Индекс рефракције ваздуха једнак 1.

Тачан одговор: Индекс преламања стакла је једнак квадратни корен из 3 .

Замена вредности које имамо:

с и н размак простор од 30 степени простор за умножавање простор за знак множења н са ви и д р крајњи индекс простора индекса једнак размаку простора н са р индексни крај простора индекса простора простор за множење с и н размак знаковни простор од 60 степени н са ви и д р крајњи индекс индексног простора једнак размаку размака н са размаком р индексни крај потписног знака размак множења с е н размак од 60 степени над називником с е н размак од 30 степени крај разломка н са в и д р подписни крај подписног простора једнак размаку бројилац 1 размак знак множења почетак стил прикажи бројилац квадратни корен од 3 над називником 2 крајњи разломак крајњи стил над називником почетак стил прикажи 1 средњи крај стил крај разломак н са в и д р индексни крај простора индекса једнак бројилу простор квадратни корен 3 над називником 2 крај разломка простор множење знак простор 2 преко 1 размак једнак квадратни корен простора од 3

Вежба 7

Да би увукао трупац у своју радионицу, бравар је за цепаницу привезао уже и повукао га десет метара преко водоравне површине. Сила од 40 Н кроз жицу направила је угао од 45 ° у смеру кретања. Израчунај рад примењене силе.

Тачан одговор: Извршени посао је приближно 84,85 Ј.

Рад је скаларна величина добијена умношком силе и померања. Ако сила нема исти смер као померање, морамо је разложити и размотрити само компоненту у овом смеру.

У овом случају морамо помножити величину силе са косинусом угла.

Тако имамо:

Т простор је једнак Ф простору. простор д простор. простор цос простор знак од 45 степени Т простор је једнак простору 40 свемиру. размак 3 размак. бројник размак квадратни корен од 2 над називником 2 крај разломка Т размак једнак размаку 60 размак. Простор од 2 Т квадратног корена приближно једнак размаку 84 зарез 85 Ј простор

Вежба 8

Између две планине, становници два села морали су тежи пут горе-доле. Да би се разрешила ситуација, одлучено је да се изгради кабловски мост између села А и Б.

Било би потребно израчунати растојање између два села по правој линији на којој би се мост протезао. Како су становници већ знали висину градова и углове успона, ова удаљеност се могла израчунати.

На основу доњег дијаграма и знајући да је висина градова била 100 м, израчунајте дужину моста.

Тачан одговор: Мост би требало да има дужину од приближно 157,73 м.

Дужина моста је збир страница суседних датим угловима. Позивајући висину х, имамо:

Прорачун под углом од 45 °

тан простор 45 степени простор простора једнак размаку х над именитељем ц а т е простор а д ј а ц е н т и крај разломка ц а т е т простор а д ј а ц е н т е простор једнак размаку х преко имениоца тан простор 45 степени знак крај разломка ц а т е т размак а д ј а ц е н т е једнак простор размакник 100 над називником почетак стила прикажи 1 крај стила крај разломка ц а т е т размак а д ј а ц е н т е размак једнак 100 размаку м

Прорачун под углом од 60 °

тан простор 60 степени простор простора једнак размаку х над именитељем ц а т е простор а д ј а ц е н т е крај разломка ц а т е т простор а д ј а ц е н т е простор једнак размакнику бројилац х над називником тан простор знак 60 степени крај разломка ц а т е т размак а д ј а ц е н т е простор једнак размаку бројилац 100 преко називник почетак стила прикажи квадратни корен од 3 крај стила крај разломка ц а т е т размак а д ј а ц е н т е размак приближно једнак размаку 57 зарез 73 м простора

Да бисмо одредили дужину моста, сумирамо добијене вредности.

к о м пр и м е н т размака једнако је простору 100 размак плус размак 57 зарез 73 размак приближно једнак размаку 157 зарез 73 размак м

Питање 1

Цефет - СП

У доњем троуглу АБЦ, ЦФ = 20 цм и БЦ = 60 цм. Означите мерења сегмената АФ и БЕ, респективно.

а) 5, 15
б) 10, 20
в) 15, 25
г) 20, 10
е) 10, 5

Одговор: б) 10, 20

Да би се утврдио АФ

Примећујемо да је АЦ = АФ + ЦФ, па морамо:

АФ = АЦ - ЦФ (једначина 1)

ЦФ је дат задатком, а једнак је 20 цм.

АЦ се може одредити помоћу синуса од 30 °.

с и н размак простор од 30 степени знак једнак размаку броја А А над називником Б Ц крај разломка простор А Ц простор једнак простору Б Ц знак множења простора простор с и н размак 30 степени знак свемир

БЦ је дат задатком, а једнак је 60 цм.

Простор Ц једнак је размаку 60 размак простор знака множења размак 1 половина једнак је размаку 30 размак ц м.

Заменом у једначини 1 имамо:

А Ф простор је једнак простору А Ц простор минус простор Ц Ф свемир А Ф простор је једнак простору 30 простор минус простор 20 простор је једнак простору 10 простору ц м

Да би се утврдило БЕ

Прво запажање:

Проверавамо да ли је лик унутар троугла правоугаоник због правих углова одређених на слици.

Стога су им странице паралелне.

Друго запажање:

Сегмент БЕ чини правоугли троугао са углом од 30 ° где је: висина једнака АФ, коју смо управо одредили, а БЕ је хипотенуза.

Израда прорачуна:

За одређивање БЕ користимо синус од 30 °

с и н размак простор од 30 степени знак једнак 10 размаку бројника над именитељем Б Е крај разломка размак Б размак Е размак једнак 10 размаку бројилаца над називником с и н размаку 30 знак степена крај разломака размак Б Е размак једнак размаку бројилац 10 над називником почетак стила прикажи 1 средњи крај стила крај разломака Б Е размак једнак размаку 20 размак ц м

питање 2

ЕПЦАР-МГ

Авион полеће из тачке Б под сталним нагибом од 15 ° према хоризонтали. 2 км од Б је вертикална пројекција Ц највише тачке Д 600 м високог планинског венца, као што је приказано на слици.

Подаци: цос 15 ° = 0,97; грех 15 ° = 0,26; тг 15 ° = 0,27

Исправно је рећи да:

а) Авион се неће сударити са тестером пре него што достигне 540 м висине.
б) Доћи ће до судара авиона и тестере на висини од 540 м.
в) Авион ће се сударити са тестером код Д.
г) Ако авион полети 220 м пре Б, задржавајући исти нагиб, неће доћи до судара авиона са тестером.

Одговор: б) Доћи ће до судара авиона и тестере на висини од 540 м.

Прво је потребно користити исти вишекратник јединице за мерење дужине. Стога ћемо ићи 2 км до 2000 м.

Пратећи исте почетне услове лета, можемо предвидети висину на којој ће се авион налазити у вертикалној пројекцији тачке Ц.

Користећи тангенту од 15 ° и дефинишући висину као х, имамо:

тан простор 15 знак степена простор једнак размаку х х размак над називником 2000 крај разломка размак х простор једнак простору 2000 знак множења размака простор тан тан размак 15. размак простор х размак једнак простору 2000 простор размножавање знак простор 0 зарез 27 размак простор размак х простор једнак простору 540 размак м

питање 3

ЕНЕМ 2018

За украшавање равног кружног цилиндра користиће се правоугаона трака прозирног папира на којој је подебљано исцртана дијагонала која са доњом ивицом формира 30 °. Полупречник основе цилиндра мери 6 / π цм, а при намотавању траке добија се линија у облику завојнице, као што је приказано на слици.

Вредност мерења висине цилиндра, у центиметрима, је:

а) 36√3
б) 24√3
в) 4√3
д) 36
д) 72

Одговор: б) 24√3

Посматрајући фигуру примећујемо да је око цилиндра направљено 6 завоја. Како је то равни цилиндар, било где у његовој висини имаћемо круг као основу.

Да би се израчунала мера основе троугла.

Дужина круга може се добити из формуле:

Где је р радијус е, једнак типографски 6 на правом пи ,имамо:

2 размака. равни простор пи простор. размак 6 размак над правим пи

Како је 6 кругова:

6 размака. размак 2 размак. равни простор пи простор. простор 6 преко правог пи простора једнако је простору 72 простор

За израчунавање висине можемо да користимо 30 ° тан.

тамни простор простор од 30 степени знак једнак размаку размака а л т у р а размак над називником б а с и крај разломака размак простор а л т у р а простор једнак простору б а с и знак множења простора простор тан тан простор 30 степени знак простор а л т у р простор једнак простору 72 простор знак множења простор бројилац квадратни корен од 3 над називником 3 крај разломка а л т у р простор једнак простору 24 квадратни корен од 3

питање 4

ЕНЕМ 2017

Зраци сунца досежу површину језера под углом Кс својом површином, као што је приказано на слици.

Под одређеним условима може се претпоставити да је интензитет светлости ових зрака, на површини језера, приближно дат као И (к) = к. син (к), к је константа, и под претпоставком да је Кс између 0 ° и 90 °.

Када је к = 30º, интензитет светлости се смањује на проценат његове максималне вредности?

А) 33%
Б) 50%
В) 57%
Д) 70%
Е) 86%

Одговор: Б) 50%

Заменом вредности синуса од 30 ° у функцији добијамо:

И лева заграда к десна заграда размак је једнак простору к размаку. с размак и н размак знак 30 степени И лева заграда к десна заграда простор једнак размаку к размак. 1 пола простора

Смањивши вредност к за половину, интензитет је 50%.

Вежбајте више вежби у:

Вежбе тригонометрије

Проширите своје знање са:

Тригонометрија у правоуглом троуглу

Метрички односи у правоугаоном троуглу

Тригонометрија

Вежбе на једноставним и сложеним именицама

Вежбе на једноставним и сложеним именицама

Проверите своје знање једноставних именица и сложеница.Погледајте питања која су наши стручни про...

read more

37 Вежбе за наслон са шаблоном

Овде тестирате да ли знате како правилно да користите повратне цитате. Немој да губиш време! Одра...

read more

Вежбе на типовима предиката са коментарисаним шаблоном

Студенти су обавештени о ситуацији.Кандидати су самоуверено напустили собу.Професор изгледа забри...

read more