Вежбе на скуповима и постављеним операцијама

У математици скупови представљају скуп различитих предмета, а операције изведене са скуповима су: унија, пресек и разлика.

Користите 10 питања у наставку да бисте тестирали своје знање. Користите коментарисане резолуције да бисте разјаснили своје сумње.

Питање 1

Размотрите скупове

А = {1, 4, 7}
Б = {1, 3, 4, 5, 7, 8}

Исправно је рећи да:

а) А. Б.
б) Тхе Б.
ц) Б. ТХЕ
д) Б. ТХЕ

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: б) А. Б.

а) ПОГРЕШНО. Постоје елементи из Б који не припадају скупу А. Према томе, не можемо рећи да А садржи Б. Тачна изјава би била Б. ТХЕ.

б) ТАЧНО. Имајте на уму да су сви елементи А такође елементи Б. Према томе, можемо рећи да је А садржано у Б, А је део Б или да је А подскуп Б.

в) ПОГРЕШНО. Не постоји елемент А који не припада скупу Б. Према томе, не можемо рећи да Б не садржи А.

г) ПОГРЕШНО. Пошто је А подскуп Б, тада је пресек скупова А и Б сам скуп А: Б А = А

питање 2

Погледајте следеће сетове и означите тачну алтернативу.

А = {к | к је позитивни вишекратник 4}
Б = {к | к је паран број и 4 Икс 16}

а) 145 ТХЕ
б) 26 А и Б.
ц) 11 Б.
д) 12 А и Б.

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: г) 12 А и Б.

Групе питања представљају њихови закони о формирању. Дакле, скуп А се формира од позитивних вишекратника од 4, то јест А = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...} и скуп Б окупља парне бројеве веће или једнаке 4 и мање од 16. Према томе, Б = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Анализирајући алтернативе, имамо:

а) ПОГРЕШНО. 145 је број који се завршава са 5 и зато је вишекратник 5.

б) ПОГРЕШНО. 26, иако је паран број, већи је од 16 и, према томе, није део скупа Б.

в) ПОГРЕШНО. 11 није паран број, већ прост број, односно дељив је само са 1 и самим собом.

г) ТАЧНО. 12 припада скуповима А и Б, јер је вишекратник 4 и паран број већи од 4, а мањи од 16.

питање 3

Који је могући закон формирања скупа А = {2, 3, 5, 7, 11}?

а) А = {к | к је симетрични број и 2 б) А = {к | к је прост број и 1 ц) А = {к | к је позитиван непаран број и 1 д) А = {к | к је природни број мањи од 10}

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: б) А = {к | к је прост број и 1

а) ПОГРЕШНО. Симетрични бројеви, звани и супротности, појављују се на истој удаљености на бројевној линији. На пример, 2 и - 2 су симетрични.

б) ТАЧНО. Представљени скуп је простих бројева, при чему је 2 најмањи постојећи прости број и уједно једини који је паран.

в) ПОГРЕШНО. Иако је већина бројева непарна, у сету постоји број 2, који је паран.

г) ПОГРЕШНО. Иако су сви бројеви природни, скуп садржи број 11, који је већи од 10.

питање 4

Унија скупова А = {к | к је прост број и 1

а) А. Б = {1,2,3,5.7}
б) Тхе Б = {1,2,3,5.7}
ц) Тхе Б = {1,2,3,5.7}
даје Б = {1,2,3,5.7}

Погледајте одговор

Тачна алтернатива: д) А. Б = {1, 2, 3, 5, 7}

За скуп А = {к | к је прост број и 1

А = {2, 3, 5, 7}
Б = {1, 3, 5, 7}

а) ПОГРЕШНО. А не садржи Б, јер елемент 1 није део А.

б) ПОГРЕШНО. А није садржан у Б, јер елемент 2 није део Б.

в) ПОГРЕШНО. А не припада Б, јер скупови имају различит елемент.

г) ТАЧНО. Унија скупова одговара спајању елемената који их чине и представљена је симболом .

Према томе, унија А = {2, 3, 5, 7} и Б = {1, 3, 5, 7} је А У Б = {1, 2, 3, 5, 7}.

питање 5

Нацртајте скупове А = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, Б = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} и Ц = {-5, - 3, 1, 2, 3, 5} у Веновом дијаграму и затим одредите:

а) А. Б.
пре нове ере Б.
ц) Ц - А.
д) Б. (ТХЕ Ц)

Погледајте одговор

Прави одговор:
а) {1, 6, 7};
б) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
ц) {-5, 2, 3, 5} и
г) {1, 3, 5, 6, 7}.

Дистрибуирајући елементе скупова у Веновом дијаграму, имамо:

При извођењу операција са датим скуповима имамо следеће резултате:

а) А. Б = {1, 6, 7}

Приказ пресека скупова у Веновом дијаграму

пре нове ере Б = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}

Приказ уније скупова у Веновом дијаграму

ц) Ц - А = {-5, 2, 3, 5}

Приказ разлике између скупова у Веновом дијаграму

д) Б. (ТХЕ Ц) = {1, 3, 5, 6, 7}

питање 6

Забележите шрафирано подручје слике и означите алтернативу која га представља.

а) Ц. (ТХЕ Б)
б) Ц - (А. Б)
ц) Ц. (А - Б)
д) Ц. (ТХЕ Б)

Погледајте одговор

Тачан одговор: б) Ц - (А Б)

Имајте на уму да шрафирано подручје представља елементе који не припадају скуповима А и Б. Према томе, то је разлика између скупова, коју означавамо са (-).

Како скупови А и Б имају исту боју, можемо рећи да постоји репрезентација уније скупова, односно спајање елемената А и Б, представљено А Б.

Према томе, можемо рећи да је шрафирано подручје разлика Ц од споја А и Б, односно Ц - (А Б).

питање 7

У предуниверзитетском курсу има 600 студената уписаних у изоловане предмете. 300 ученика студира математику, 200 ученика похађа наставу португалског, а 150 ученика не похађа ове предмете.

Узимајући у обзир студенте који су уписани на предмет (У), студенти који похађају математику (М) и студенти који похађају португалски језик (П), утврђују:

а) број ученика математике или португалског језика
б) број ученика математике и португалског језика

Погледајте одговор

Прави одговор:

а) н (М. П) = 450
б) н (М. П) = 50

а) број захтеваних ученика укључује и студенте математике и португалске. Стога морамо наћи унију два скупа.

Резултат се може израчунати одузимањем укупног броја ученика у школи од броја ученика који не полажу ове предмете.

н (М. П) = н (У) - 150 = 600 - 150 = 450

б) како је тражени резултат ученика који студирају математику и португалски, морамо да пронађемо пресек скупова, односно елемената заједничких за оба скупа.

Пресек два скупа можемо израчунати додавањем броја ученика уписаних у предмете Португалског и математике и потом одузимање броја ученика који истовремено проучавају ова два предмета време.

н (М. П) = н (М) + н (П) - н (М. П) = 300 + 200 - 450 = 50

питање 8

Нумерички скупови укључују следеће скупове: Натуралс (ℕ), Интегерс (тег), Ратионалс (ℚ), Ирратионалс (И), Реал (ℝ) и Цомплекес (ℂ). На горе поменутим скуповима означите дефиницију која одговара сваком од њих.

1. природни бројеви	() покрива све бројеве који се могу записати као разломак, са целобројним бројилом и називником.
2. цели бројеви	() одговара унији рационалних и ирационалних.
3. рационални бројеви	() су децимални, бесконачни и непериодични бројеви и не могу се представити несводивим разломцима.
4. ирационални бројеви	() је формиран бројевима које користимо у бројевима {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}
5. реални бројеви	() укључује корене типа √-н.
6. Комплексни бројеви	() окупља све елементе природних бројева и њихове супротности.

Погледајте одговор

Тачан одговор: 3, 5, 4, 1, 6, 2.

(3) Тхе рационални бројеви покривају све бројеве који се могу записати као разломак, целобројним бројилом и називником. Овај скуп укључује нетачне поделе. ℚ = {к = а / б, са а ∈ ℤ, б ∈ ℤ и б = 0}

(5) Тхе реални бројеви одговарају унији рационалних ирационалних, односно ℝ = ℚ ∪ И.

(4) ирационални бројеви они су децимални, бесконачни и непериодични бројеви и не могу се представити несводивим разломцима. Бројеви у овој групи су резултат операција чији резултат није могао бити записан као разломак. На пример до √ 2.

(1) природни бројеви се формирају бројевима које користимо у бројевима ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}.

(6) Тхе комплексни бројеви укључују корене типа √-н, а тако је и продужетак реалних бројева.

(2) Тхе цели бројеви објединити све елементе природних бројева и њихове супротности. Да би могао да реши сва одузимања, као што је 7 - 10, скуп природних података је проширен, тако да се појавио скуп целих бројева. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

питање 9

(Прилагођено УНБ-у) Од 200 људи који су анкетирани о својим преференцама у гледању тркачких шампионата на телевизији, прикупљени су следећи подаци:

• 55 испитаника не гледа;
• 101 сат трке Формуле 1;
• 27 гледа трке Формуле 1 и мотоцикала;

Колико интервјуираних људи гледа искључиво мото трке?

а) 32
б) 44
в) 56
г) 28

Погледајте одговор

Тачан одговор: б) 44.

Корак 1: Одредите укупан број људи који гледа трке

За то само треба да одузмемо укупан број испитаника од оних који су се изјаснили да неће присуствовати тркачким шампионатима.

200 - 55 = 145 људи

2. корак: израчунајте број људи који гледају само мото трке

74 + 27 + (к - 27) = 145
к + 74 = 145
к = 145 - 74
к = 71

Одузимајући вредност к из пресека два скупа, проналазимо број испитаника који само гледају трке брзине мотоцикала.

71 - 27 = 44

питање 10

(УЕЛ-ПР) У датом тренутку три ТВ канала су у свом програму имале сапунице у ударном термину: сапуница А на каналу А, сапуница Б на каналу Б и сапуница Ц на каналу Ц. У анкети од 3000 људи постављено је питање које сапунице воле. У доњој табели наведен је број гледалаца који су сапунице означили за уживање.

Сапунице	Број гледалаца
ТХЕ	1450
Б.	1150
Ц	900
А и Б.	350
А и Ц.	400
Б и Ц.	300
А, Б и Ц.	100

Колико интервјуисаних гледалаца ниједној од три сапунице није пријатна?
а) 300 гледалаца.
б) 370 гледалаца.
в) 450 гледалаца.
г) 470 гледалаца.
д) 500 гледалаца.

Погледајте одговор

Тачан одговор: в) 450 гледалаца.

Постоји 450 гледалаца којима ниједна од три теленовеле није пријатна.

Сазнајте више консултујући следеће текстове:

• Теорија скупова
• Операције са сетовима
• Нумерички скупови
• Вежбе на нумеричким скуповима