ТХЕ декомпозиција основног фактора је веома важан алат у математичком развоју, јер је могуће поједноставити нумеричке изразе или алгебарски и израчунати МДЦ или ММЦ целих бројева.
Разлагање на просте факторе један је од најважнијих резултата у пољу алгебре и формално је познат као Основни теорем аритметике, који наводи да сви позитиван цео број већи од 1 може се написати (или разложити) у облику множење простих бројева.
Прочитајте и ви: Својства множења за ментално рачунање
Како се разложити на основне факторе?
Неопходно је разумети концепт простих бројева, јер ћемо их користити за разбијање целих бројева. Овде ћемо се укратко вратити на дефиницију простих бројева.
|
Прости бројеви су они који су присутни на вашој листи преграде само број 1 и они сами. Да бисмо, на пример, проверили да ли су бројеви 11 и 21 прости или не, морамо навести делиоце оба броја: Д (11) = {1, 11} Д (21) = {1, 3, 7, 21} Имајте на уму да се приликом навођења делитеља 11 појављује само број 1 и он сам, па се број 11 је прост, што се не односи на број 21, који има више бројева од 1 и 21, дакле број 21 није прост. Главни прости бројеви које користимо за извођење разградње су први, па је веома важно да знамо бар следеће просте бројеве: П = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…} |
Декомпозиција основног фактора је врло моћно средство у математици, јер омогућава поједностављење алгебарских и нумеричких израза. Формално, разлагање на просте факторе познато је као основни теорем аритметике, који каже:
„Сваки цео број већи од 1 може се записати као множење простих бројева.“
Даље, ова декомпозиција је јединствена за сваки број, односно, на пример, приликом декомпозиције броја 12, она ће бити једина са таквом факторизацијом. Назван је број који признаје декомпозицију једињење.
Како разложити композитни број?
Да бисмо разложили композитни број, морамо извршити дивизије узастопни прости бројеви - ако је дељење могуће - све док количник није једнак 1. На крају морамо да напишемо просте бројеве који се користе у множењу (факторски облик). Погледајте примере испод:
Пример 1
Напиши број 24 у разграниченом облику.
Да бисмо записали број 24 у факторски облик, морамо га поделити са први прости број који је могућ, односно поделите број 24 са простим бројем у коме је подела тачна.
Помоћу алгоритам поделе, поделимо 24 са2.
Сада пронађени количник био је број 12, па га морамо поново поделити са првим простим бројем чија је подела тачна, односно са2.
Морамо наставите овај поступак док количник не буде једнак 1. Имајте на уму да је сада количник једнак 6, па га можемо поделити са 2, јер је број 2 први прости број за који је дељење и даље могуће.
Имајте на уму да је количник сада једнак 3, па га није могуће поделити са 2. У овим случајевима, поделимо га са следећим простим бројем чија је подела тачна, односно са3.
Будући да је количник једнак 1, распадање је завршено, сада је довољно да просте бројеве (који су унутар кључа) запишемо као производ. Погледајте:
24 = 2 · 2 ·2 · 3
24 = 23· 3
Погледајте да смо број 24 написали у облику производа. То значи да смо на број 24 убројили користећи просте бројеве.
Пример 2
Запиши број 25 у факторски облик.
У овом примеру ћемо поново користити алгоритам дељења, али ћемо га написати другачије, погледајте:
25 = 5 · 5 + 0
5 = 5 · 1 + 0
Број 25, у факторском облику, је:
25 = 5 ·5
25 = 52
Прочитајте и ви: Критеријуми подељености - процеси који олакшавају операцију поделе
Практична метода за извођење декомпозиције основног фактора
Гледајући претходну методу, ако је број који треба узети у обзир врло велик, попут броја 1024, имамо нешто прилично мукотрпно, јер ће бити потребне узастопне поделе на просте бројеве док количник не буде једнак до 1.
Метода коју ћемо видети даље није ништа друго до поједностављење поделе. Уместо да напишемо све елементе дељења (делилац, дивиденда, количник и остатак), ставимо само прости број којим ћемо поделити број који се рачуна и количник дељења. Погледајте примере:
Размножавање броја 60
Да разбројимо број 60, следимо исти корак по корак, али само напишимо количник дељења (односно резултат) и прости број којим ћемо поделити број 60.
Погледајте то када делите 60 са2,резултат је 30 и дељењем броја 30 са 2, резултат је 15, и тако док резултат поделе не буде једнак 1. Процес остаје исти, једина разлика је у поједностављењу информација.
Број 60, у свом факторском облику, је:
60 = 2 · 2 · 3 ·5
60 = 22 · 3 · 5
решене вежбе
Питање 1 - Разложите број 192 на просте чиниоце.
Резолуција
Број 192, у свом разложеном облику, је:
192 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3
192 = 26 · 3
питање 2 - Сматрајмо бројеве п и к таквима да је п = 25 · 5 и к = 32. Одредити однос између к и п.
Резолуција
Однос између два броја је подела између њих. Увек се морамо покоравати редоследу којим су добили да деле к са п. Пре извођења стварног дељења, израчунајмо број к, тражећи начин да поједноставимо израчунавање.
Имамо к = 32, па можемо то написати овако:
к = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
к = 25
Сада, пошто смо рачунали број к, можемо саставити однос између к и п и заменити вредности.
