Збир унутрашњих и спољних углова конвексног многоугла

ти конвексни полигони су они који немају удубљеност. Да бисмо видели да ли је полигон конвексан или не, морамо посматрати да ли било који сегмент праве линије са крајевима на слици не пролази кроз спољни регион.

У конвексним полигонима постоје формуле које вам омогућавају да одредите збир унутрашњих и спољних углова. Провери!

Збир унутрашњих углова конвексног многоугла

Формула збир унутрашњих углова конвексног многоугла са н страница је:

$\ дпи {120} \ матхбф {С_и = (н-2) \ цдот 180 ^ {\ цирц}}$

Демонстрација:

Ако погледамо, видећемо да се сваки конвексни многоугао може поделити на одређени број троуглова. Погледајте неке примере:

Дакле, сећајући се да је збир унутрашњих углова троугла увек једнак 180 °, можемо видети да ће се збир унутрашњих углова на овим горњим сликама дати бројем троуглова које би лик могао поделити на 180 °:

четвороугао: 2 троугла ⇒ $\ дпи {120} \ матхрм {С_и = 2 \ цдот 180 ^ {\ цирц} = 360 ^ {\ цирц}}$
Пентагон: 3 троугла ⇒ $\ дпи {120} \ матхрм {С_и = 3 \ цдот 180 ^ {\ цирц} = 540 ^ {\ цирц}}$
Шестерокут: 4 троугла ⇒ $\ дпи {120} \ матхрм {С_и = 4 \ цдот 180 ^ {\ цирц} = 720 ^ {\ цирц}}$

Дакле, да бисмо добили формулу за израчунавање збира унутрашњих углова конвексног многоугла, само треба да знамо, уопштено говорећи, на колико троуглова може да се дели конвексни многоугао.

instagram story viewer

Ако уочимо, постоји веза између ове величине и броја страница слика. Број троуглова једнак је броју страница фигуре минус 2, то јест:

$\ дпи {120} \ матхрм {Укупно \, од \, три \ капа {а} углови = н - 2}$

Четвороугао: 4 странице ⇒ н - 2 = 4 - 2 = 2
Пентагон: 5 страница ⇒ н - 2 = 5 - 2 = 3
Шестерокут: 6 страница ⇒ н - 2 = 6 - 2 = 4

Дакле, генерално, сума унутрашњих углова конвексног многоугла дата је: $\ дпи {120} \ матхрм {С_и = (н-2) \ цдот 180 ^ {\ цирц}}$

Која је формула коју смо желели да покажемо.

Пример:

Наћи збир унутрашњих углова конвексног икосагона.

Икосагон је 20-странични полигон, односно н = 20. Заменимо ову вредност у формули:

$\ дпи {120} \ матхрм {С_и = (н-2) \ цдот 180 ^ {\ цирц}}$

$\ дпи {120} \ матхрм {С_и = (20-2) \ цдот 180 ^ {\ цирц}}$

$\ дпи {120} \ матхрм {С_и = 18 \ цдот 180 ^ {\ цирц}}$

$\ дпи {120} \ матхрм {С_и = 3240 ^ {\ цирц}}$

Према томе, збир унутрашњих углова конвексног икосагона једнак је 3240 °.

Збир спољних углова многоугла

ТХЕ збир спољних углова конвексног многоугла је увек једнако 360 °, то јест:

$\ дпи {120} \ матхбф {С_е = 360 ^ {\ цирц}}$

Демонстрација:

Погледајте неке бесплатне курсеве

Бесплатни курс за инклузивно образовање на мрежи
Бесплатна онлајн библиотека играчака и курс за учење
Бесплатни онлајн курс математичких игара у раном детињству
Бесплатни курсеви педагошких културних радионица на мрежи

Показаћемо примерима да збир спољашњих углова конвексног многоугла не зависи од броја страница фигуре и увек је једнак 360 °.

Четвороугао:

четвороугао Имајте на уму да сваки унутрашњи угао чини спољни угао од 180 °. Дакле, пошто постоје четири темена, збир свих углова дат је са 4. 180° = 720°.

Тј. $\ дпи {120} \ матхрм {С_и + С_е = 720 ^ {\ цирц}}$

Ускоро:

$\ дпи {120} \ матхрм {С_е = 720 ^ {\ цирц} - С_и}$

Једном $\ дпи {120} \ матхрм {С_и = 360 ^ {\ цирц}}$ , онда:

$\ дпи {120} \ матхрм {С_е = 720 ^ {\ цирц} - 360 ^ {\ цирц} = 360 ^ {\ цирц}}$

Пентагон:

У петоуглу имамо 5 темена, па је збир свих углова дат са 5. 180° = 900°. Ускоро: $\ дпи {120} \ матхрм {С_и + С_е = 900 ^ {\ цирц}}$ . Онда: $\ дпи {120} \ матхрм {С_е = 900 ^ {\ цирц} - С_и}$ . Једном $\ дпи {120} \ матхрм {С_и = 540 ^ {\ цирц}}$ , онда: $\ дпи {120} \ матхрм {С_е = 900 ^ {\ цирц} - 540 ^ {\ цирц} = 360 ^ {\ цирц}}$ .

Шестерокут:

У шестоуглу имамо 6 темена, па је збир свих углова дат са 6. 180° = 1080°. Ускоро: $\ дпи {120} \ матхрм {С_и + С_е = 1080 ^ {\ цирц}}$ . Онда: $\ дпи {120} \ матхрм {С_е = 1080 ^ {\ цирц} - С_и}$ . Једном $\ дпи {120} \ матхрм {С_и = 710 ^ {\ цирц}}$ , онда: $\ дпи {120} \ матхрм {С_е = 1080 ^ {\ цирц} - 720 ^ {\ цирц} = 360 ^ {\ цирц}}$ .

Као што видите, у сва три примера, збир спољних углова, $\ дпи {120} \ матхрм {С_е}$ , резултирало је 360 °.

Пример:

Збир унутрашњих и спољашњих углова многоугла једнак је 1800 °. Шта је овај полигон?

Имамо: $\ дпи {120} \ матхрм {С_и + С_е = 1800 ^ {\ цирц}}$ . Знајући то у било ком полигону $\ дпи {120} \ матхрм {С_е = 360 ^ {\ цирц}}$ , онда имамо: