Вежбе са сложеним бројевима: Листа решених питања и повратне информације

ти комплексни бројеви омогућавају решавање математичких задатака који немају решења у скупу реални бројеви.

У сложеном броју написаном као $\ дпи {120} з = а + би$ , ми то кажемо $\ дпи {120} до$ је стварни део, $\ дпи {120} б$ је замишљени део и $\ дпи {120} и = \ скрт {-1}$ то је замишљена јединица.

Извести операције са сложеним бројевима, постоје неки изрази који олакшавају прорачуне. Размотрити $\ дпи {120} з_1 = а + би$ и $\ дпи {120} з_2 = ц + ди$ .

Израз сабирања између сложених бројева:

$\ дпи {120} з_1 + з_2 = (а + ц) + (б + д) и$

Изражавање одузимања између комплексних бројева:

$\ дпи {120} з_1 - з_2 = (а-ц) + (б - д) и$

Изражавање множења између комплексних бројева:

$\ дпи {120} з_1 \ цдот з_2 = (ац - дб) + (ад + цб) и$

Израз поделе између комплексних бројева:

$\ дпи {120} \ фрац {з_1} {з_2} = \ фрац {(ац + бд)} {ц ^ 2 + д ^ 2} + \ фрац {(бц - ад)} {ц ^ 2 + д ^ 2 } и$

Испод је листа питања решавана вежбама на сложеним бројевима. Научите да користите сваки од појмова који укључују ове бројеве!

Индекс

Списак вежби на сложеним бројевима
Решавање питања 1
Решавање питања 2
Решавање питања 3
Решење питања 4
Решавање питања 5
Решавање питања 6
Решавање питања 7
Решавање питања 8

Списак вежби на сложеним бројевима

Питање 1. Узимајући у обзир комплексне бројеве $\ дпи {120} з_1 = 2 + 3и$ , $\ дпи {120} з_2 = 2 - 5и$ и $\ дпи {120} з_3 = -1 + 4и$ утврдити вредност $\ дпи {120} А.$ , Када $\ дпи {120} А = з_2 + 4з_3 -3з_1$ .

Питање 2. Пронађите вредности $\ дпи {120} к$ и $\ дпи {120} год$ тако да $\ дпи {120} (2 + ки) + (и-5и) = 3-и$ .

Питање 3. Узимајући у обзир комплексне бројеве $\ дпи {120} з_1 = -2 - 5и$ и $\ дпи {120} з_2 = 1 + 3и$ , одредите вредност $\ дпи {120} А \ цдот Б.$ , Када $\ дпи {120} А = з_1 \ цдот \ бар {з_1}$ и $\ дпи {120} Б = з_2 \ цдот \ бар {з_2}$ .

instagram story viewer

Питање 4. Израчунај вредност $\ дпи {120} стр$ и $\ дпи {120} к$ за шта $\ дпи {120} з_1: з_2 = к + 2и$ , Када $\ дпи {120} з_1 = 3 - пи$ и $\ дпи {120} з_2 = 1 + 2и$ .

Питање 5. Одредите вредност $\ дпи {120} до$ за шта $\ дпи {120} (а + 3и): (3 + 2и)$ бити чисти имагинарни број.

Питање 6. Израчунај следеће замишљене јединице снаге $\ дпи {120} и$ :

Тхе) $\ дпи {120} и ^ {16}$
Б) $\ дпи {120} и ^ {200}$
ц) $\ дпи {120} и ^ {829}$
д) $\ дпи {120} и ^ {11475}$

Питање 7. Пронађите решење једначине $\ дпи {120} к ^ 2 + 9 = 0$ у скупу комплексних бројева.

Питање 8. Одредити решење једначине $\ дпи {120} к ^ 2 + к + 1 = 0$ у скупу комплексних бројева.

Решавање питања 1

Имамо $\ дпи {120} з_1 = 2 + 3и$ и $\ дпи {120} з_2 = 2 - 5и$ и $\ дпи {120} з_3 = -1 + 4и$ и желимо да утврдимо вредност $\ дпи {120} А.$ , Када $\ дпи {120} А = з_2 + 4з_3 -3з_1$ .

Прво, израчунајмо $\ дпи {120} 4з_3$ и $\ дпи {120} 3з_1$ , одвојено:

$\ дпи {120} 4з_3 = 4. (- 1 + 4и) = -4 + 16и$

$\ дпи {120} 3з_1 = 3. (2 + 3и) = 6 + 9и$

Сад израчунајмо $\ дпи {120} А.$ :

$\ дпи {120} А = з_2 + 4з_3 -3з_1$

$\ дпи {120} \ Десна стрелица А = (2 - 5и) + (- 4 + 16и) - (6 + 9и)$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров А = (2-4-6) + (-5 + 16-9) и$

$\ дпи {120} \ Десна стрелица А = -8 + 2и$

Решавање питања 2

Желимо да пронађемо к и и тако да $\ дпи {120} (2 + ки) + (и-5и) = 3-и$ .

Изражавањем збира између два комплексна броја морамо:

$\ дпи {120} (2 + ки) + (и-5и) = 3-и$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров (2 + и) + (к-5) и = 3-и$

Тако да морамо $\ дпи {120} (2 + и) = 3$ и $\ дпи {120} (к-5) и = -и$ . Решимо ове две једначине да бисмо пронашли к и и.

$\ дпи {120} (2 + и) = 3 \ Десна стрела и = 3-2 \ Десна стрелица и = 1$

$\ дпи {120} (к-5) и = -и \ Ригхтарров к- 5 = -1 \ Ригхтарров к = -1 + 5 \ Ригхтарров к = 4$

Решавање питања 3

Имамо $\ дпи {120} з_1 = -2 - 5и$ и $\ дпи {120} з_2 = 1 + 3и$ и желимо да утврдимо вредност $\ дпи {120} А \ цдот Б.$ , Када $\ дпи {120} А = з_1 \ цдот \ бар {з_1}$ и $\ дпи {120} Б = з_2 \ цдот \ бар {з_2}$ .

Прво израчунавамо $\ дпи {120} А = з_1 \ цдот \ бар {з_1}$ .

$\ дпи {120} А = з_1 \ цдот \ бар {з_1}$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров А = (-2 - 5и) \ цдот (-2 + 5и)$

Изражавањем множења између два сложена броја морамо:

$\ дпи {120} А = [(- 2) \ цдот (-2) - (- 5) \ цдот 5] + [(- 2) \ цдот 5 + (-5) \ цдот (-2)]$

$\ дпи {120} \ Десна стрелица А = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров А = 29$

Сад израчунајмо $\ дпи {120} Б = з_2 \ цдот \ бар {з_2}$ .

$\ дпи {120} Б = з_2 \ цдот \ бар {з_2}$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров Б = (1 + 3и) \ цдот (1-3и)$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров Б = [1 \ цдот 1 - 3 \ цдот (-3)] + [1 \ цдот (-3) +1 \ цдот 3] и$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров Б = [1 + 9] + [- 3 + 3] и$

$\ дпи {120} \ Десна стрелица Б = 10$

Стога, $\ дпи {120} А \ цдот Б = 29 \ цдот 10 = 290$ .

Решење питања 4

Желимо да израчунамо вредност $\ дпи {120} стр$ и $\ дпи {120} к$ за шта $\ дпи {120} з_1: з_2 = к + 2и$ , Када $\ дпи {120} з_1 = 3 - пи$ и $\ дпи {120} з_2 = 1 + 2и$ .

Значи пронаћи $\ дпи {120} стр$ и $\ дпи {120} к$ тако да:

Погледајте неке бесплатне курсеве

Бесплатни курс за инклузивно образовање на мрежи
Бесплатна онлајн библиотека играчака и курс за учење
Бесплатни онлајн курс математичких игара за предшколску децу
Бесплатни курсеви педагошких културних радионица на мрежи

$\ дпи {120} \ фрац {3-пи} {1 + 2и} = к + 2и$

Изразом поделе између два сложена броја морамо:

$\ дпи {120} \ фрац {3-пи} {1 + 2и} = \ фрац {[3 \ цдот 1 + (- п) \ цдот 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ фрац {[ (-п) \ цдот 1-3 \ цдот 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} и = \ фрац {3 - 2п} {5} + \ фрац {(- п - 6)} {5} и$

Придруживањем два услова морамо имати:

$\ дпи {120} \ фрац {3 - 2п} {5} + \ фрац {(- п - 6)} {5} и = к + 2и$

Тј.

$\ дпи {120} \ фрац {3 - 2п} {5} = к \: \: \ матхрм {е} \: \: \ фрац {(- п-6)} {5} и = 2и$

Решимо сваку од ових једначина, почев од друге која зависи само од п.

$\ дпи {120} \ фрац {(- п-6)} {5} и = 2и$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров \ фрац {(- п-6)} {5} = 2$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров -п - 6 = 10$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров п = -16$

Сада к налазимо према другој једначини:

$\ дпи {120} \ фрац {3 - 2п} {5} = к$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров \ фрац {3 - 2 \ цдот (-16)} {5} = к$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров к = 7$

Решавање питања 5

Желимо да пронађемо вредност $\ дпи {120} до$ за шта $\ дпи {120} (а + 3и): (3 + 2и)$ бити чисти имагинарни број.

Чисти имагинарни број је онај чији је стварни део једнак нули.

Узимајући у обзир израз поделе између два сложена броја, имамо:

$\ дпи {120} \ фрац {а + 3и} {3 + 2и} = \ фрац {а \ цдот 3 + 3 \ цдот 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ фрац {3 \ цдот 3 - а \ цдот 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} и = \ фрац {3а + 6} {13} + \ фрац {9-2а} {13} и$

Да би овај број био чисто измишљен, морамо имати:

$\ дпи {120} \ фрац {3а + 6} {13} = 0$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров 3а + 6 = 0$

$\ дпи {120} \ Десна стрелица а = -2$

Решавање питања 6

Дефинисањем потенцијала и комплексних бројева морамо:

$\ дпи {120} и ^ 0 = 1$
$\ дпи {120} и ^ 1 = и$
$\ дпи {120} и ^ 2 = -1$
$\ дпи {120} и ^ 3 = -и$
$\ дпи {120} и ^ 4 = 1$
$\ дпи {120} и ^ 5 = и$
$\ дпи {120} и ^ 6 = -1$
$\ дпи {120} и ^ 7 = -и$

Уочите образац који се понавља сваке четири узастопне моћи: 1, и, -1 и -и.

Дакле, да бисте пронашли резултат при било којој моћи и, само поделите експонент са 4. Остатак дељења биће 0, 1, 2 или 3 и ова вредност ће бити експонент који бисмо требали користити.

Тхе) $\ дпи {120} и ^ {16}$

16: 4 = 4, а остатак је 0.

Онда, $\ дпи {120} и ^ {16} = и ^ 0 = 1$ .