Тригонометријске функције полулука

У тригонометријске функције, синус, косинус и тангента половине лука могу се добити из тригонометријских функција двоструког лука.

Дат је лук мере $\ дпи {120} \ алфа$ , двоструки лук је лук $\ дпи {120} 2 \ алфа$ а полу лук је лук $\ дпи {120} \ алфа / 2$ .

Од стране две формуле сабирања лука, имамо тригонометријске функције двоструког лука:

Сине:

$\ дпи {120} \ матхрм {сен (2 {\ алпха}) = сен ({\ алпха + \ алпха}) = син \, {\ алпха} \ цдот цос \, {\ алпха} + син \, {\ алфа} \ цдот цос \, {\ алфа}}$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров \ матхбф {сен (2 \ болдсимбол {\ алпха}) = 2. (сен \, \ болдсимбол {\ алпха} \ цдот цос \, \ болдсимбол {\ алпха})}$

косинус:

$\ дпи {120} \ матхрм {цос (2 {\ алпха}) = цос ({\ алпха + \ алпха}) = цос \, {\ алпха} \ цдот цос \, {\ алпха} - син \, {\ алфа} \ цдот грех \, {\ алфа}}$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров \ матхбф {цос (2 \ болдсимбол {\ алпха}) = цос ^ 2 \, \ болдсимбол {\ алпха} - сен ^ 2 \, \ болдсимбол {\ алпха}}$

Тангента:

$\ дпи {120} \ матхрм {тан (2 {\ алпха}) = тан ({\ алпха + \ алпха}) = \ фрац {тан \, {\ алпха} + тан \, {\ алпха}} {1 - препланули \, {\ алпха} \ цдот препланули \, {\ алпха}}}$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров \ матхбф {тан (2 \ болдсимбол {\ алпха}) = \ фрац {2 \ цдот тан \, \ болдсимбол {\ алпха}} {1 - тан ^ 2 \, \ болдсимбол {\ алпха }}}$

Из ових формула показаћемо формуле за полулучне тригонометријске функције.

Тригонометријске функције полулука

Један од темељни односи тригонометрије је ли то:

$\ дпи {120} \ матхбф {сен ^ 2 \ болдсимбол {\ алпха} + цос ^ 2 \ болдсимбол {\ алпха} = 1}$

Где добијамо:

$\ дпи {120} \ матхрм {сен ^ 2 \ алпха = 1 - цос ^ 2 \ алпха}$

$\ дпи {120} \ матхрм {цос ^ 2 \ алпха = 1-сен ^ 2 \ алпха}$

замењујући $\ дпи {120} \ матхрм {сен ^ 2 \ алпха = 1 - цос ^ 2 \ алпха}$ у формули косинуса двоструког лука морамо:

$\ дпи {120} \ матхрм {цос (2 {\ алпха}) = цос ^ 2 \, {\ алпха} - син ^ 2 \, {\ алпха} = цос ^ 2 \, {\ алпха} - (1 - цос ^ 2 \, {\ алфа})}$

Погледајте неке бесплатне курсеве

Бесплатни курс за инклузивно образовање на мрежи
Бесплатна онлајн библиотека играчака и курс за учење
Бесплатни онлајн курс математичких игара у раном детињству
Бесплатни курсеви педагошких културних радионица на мрежи

$\ дпи {120} \ матхрм {= 2цос ^ 2 \, {\ алпха} - 1}$

Стога: $\ дпи {120} \ матхрм {цос (2 \ алпха) = 2цос ^ 2 \, {\ алпха} - 1}$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров \ матхрм {цос ^ 2 \, {\ алпха} = \ фрац {1 + цос (2 \ алпха)} {2}}$

замењујући $\ дпи {120} \ алфа$ пер $\ дпи {120} \ алфа / 2$ у горњој формули и извлачењу квадратног корена са обе стране имамо формулу за косинус лука полу:

$\ дпи {120} \ матхбф {цос \, {(\ болдсимбол {\ алпха} / 2)} = \ пм \ скрт {\ фрац {1 + цос \, \ болдсимбол {\ алпха}} {2}}}$

Напомена: Знак у формули ће бити позитиван или негативан према квадранту половине лука.

Сада замењује $\ дпи {120} \ матхрм {цос ^ 2 \ алпха = 1-сен ^ 2 \ алпха}$ у формули косинуса двоструког лука морамо:

instagram story viewer

$\ дпи {120} \ матхрм {цос (2 {\ алпха}) = цос ^ 2 \, {\ алпха} - син ^ 2 \, {\ алпха} = (1 -сен ^ 2 \, {\ алпха}) - сен ^ 2 \, {\ алпха}}$

$\ дпи {120} \ матхрм {= 1-2сен ^ 2 \, {\ алпха}}$

Стога:

$\ дпи {120} \ матхрм {цос (2 \ алпха) = 1-2сен ^ 2 \, {\ алпха}}$

$\ дпи {120} \ Ригхтарров \ матхрм {сен ^ 2 \, {\ алпха} = \ фрац {1-цос (2 \ алпха)} {2}}$

замењујући $\ дпи {120} \ алфа$ пер $\ дпи {120} \ алфа / 2$ у горњој формули и извлачењу квадратног корена са обе стране имамо формулу за синус половине лука:

$\ дпи {120} \ матхбф {сен \, {(\ болдсимбол {\ алпха} / 2)} = \ пм \ скрт {\ фрац {1-цос \, \ болдсимбол {\ алпха}} {2}}}$

Напомена: Знак у формули ће бити позитиван или негативан према квадранту половине лука.

На крају, можемо добити тангенту половине лука, делећи синус половине лука косинусом половине лука:

$\ дпи {120} \ матхрм {тан (\ алпха / 2) = \ фрац {сен (\ алпха / 2)} {цос (\ алпха / 2)} = \ фрац {\ скрт {\ фрац {1 - цос \, \ алпха} {2}}} {\ скрт {\ фрац {1 + цос \, \ алпха} {2}}} = \ скрт {\ фрац {1 - цос \, \ алпха} {1 + цос \, \ алфа}}}$

Према томе, формула полулучна тангента é:

$\ дпи {120} \ матхбф {тан (\ болдсимбол {\ алпха} / 2) = \ пм \ скрт {\ фрац {1 - цос \, \ болдсимбол {\ алпха}} {1 + цос \, \ болдсимбол {\ алфа}}}}$

Напомена: Знак у формули ће бити позитиван или негативан према квадранту половине лука.

Можда ће вас такође занимати:

тригонометријски круг
тригонометријска табела
Тригонометријски односи
закон о гресима
косинусни закон

Лозинка је послана на вашу е-пошту.

Тригонометријске функције полулука

Тригонометријске функције полулука

Ко је био Наполеон Бонапарте?

Светски дан књиге

Све о рукомету: правила, основе, историја, порекло и положаји