О. Паскалов троугао то је прилично стари математички алат. Кроз историју је добио неколико имена, али данас су највише усвојена аритметички троугао и Паскалов троугао. Друго име је признање математичару који је дао неколико доприноса проучавању овог троугла. значи да је троугао измислио он, али он је тај који је дубље проучио ово оруђе.
Из својстава Паскаловог троугла могуће га је логички конструисати. Такође се истиче ваш однос са комбинације студирао у комбинаторној анализи. Односи Паскаловог троугла такође одговарају биномним коефицијентима и, према томе, веома је користан за израчунавање било ког Њутновог бинома.
Прочитајте такође: Бриот-Руффинијев уређај - метода за дељење полинома
Изградња Паскаловог троугла
Паскалов троугао се производи из резултата комбинација, међутим постоји практична метода која олакшава начин њене изградње. Први ред и прва колона рачунају се као нулти ред и нулта колона. Можемо да користимо онолико линија колико је потребно у овој конструкцији стога троугао може имати бесконачне линије. Образложење разраде линија је увек исто. Погледајте:
Знамо да је појмови троугао су комбинације, студирао у комбинаторна анализа. За замену Паскаловог троугла нумеричким вредностима знамо да су комбинације броја са нулом и броја са собом увек једнаке 1. Стога су прва и последња вредност увек 1.
Да бисмо пронашли остале, започињемо са линијом 2, јер су линија 0 и линија 1 већ завршене. У линији 2, да бисмо пронашли комбинацију од 2 до 1, у горњи ред, односно у ред 1, додајмо појам изнад њега у исту колону и израз изнад њега у претходну колону, као што је приказано на слици :
Након изградње линије 2, могуће је изградити линију 3 изводећи исти поступак.
Настављајући овај поступак, наћи ћемо све појмове - у овом случају до реда 5 - али могуће је изградити онолико линија колико је потребно.
Особине Паскаловог троугла
Постоје неке својства Паскаловог троугла, због правилности у његовој изградњи. Ова својства су корисна за рад са комбинацијама, конструкцију самих линија троугла и зброј линија, колона и дијагонала.
1. својство
Прво својство је било оно које смо користили за изградњу троугла. Тако да наћи појам у Паскаловом троуглу, само додајте термин који је у реду изнад њега и исту колону са изразом који је у колони и реду пре њега. Ово својство може бити представљено на следећи начин:
Ово својство је познато као Стифелова веза а важно је олакшати изградњу троугла и пронаћи вредности сваке од правих.
Не заустављај се сада... После оглашавања има још;)
2. својство
Збир свих појмова у низу израчунава се према:
сне=2не, на шта не је број линије.
Примери:
Са овом особином је могуће знати збир свих појмова на линији а да не мора нужно да конструише Паскалов троугао. Збир реда 10, на пример, може се израчунати са 210 = 1024. Иако нису познати сви појмови, већ је могуће знати вредност збира целе линије.
3. својство
Збир појмова који се нижу од почетка дате колоне П. до одређене линије не је исто што и појам на линији н +1 леђа и колона п +1 касније, као што је приказано доле:
4. својство
Збир дијагонале која почиње у колони 0 и иде до појма у колони п и реду н једнак је појму у истој колони (п), али у низу испод (н + 1), као што је приказано на слици :
5. својина
У линијама Паскаловог троугла постоји симетрија. Први и други члан су једнаки, други и претпоследњи су једнаки итд.
Пример:
6. ред: 1615 20 156 1.
Имајте на уму да су појмови једнаки два до два, осим централног појма.
Погледајте такође: Полиномска подела: како то решити?
Њутнов бином
Дефинишемо Њутнов бином а моћ једног полином која има два појма. Израчун бинома повезан је са Паскаловим троуглом, који постаје механизам за израчунавање онога што називамо биномним коефицијентима. За израчунавање бинома користимо следећу формулу:
Имајте на уму да је вредност експонента Тхе смањује се све док у последњем року није једнако Тхе0. Знамо да је сваки број подигнут на 0 једнак 1, па је тај појам Тхе се не појављује у последњем року. Такође имајте на уму да је експонент Б. почиње са Б.0, ускоро Б. не појављује се у првом року и повећава се до достизања Б.не, у последњем мандату.
Даље, број који прати сваки од појмова је оно што називамо коефицијентом - у овом случају познатим као биномни коефицијент. Да бисте боље разумели како решити ову врсту бинома, приступите нашем тексту: Њутнов бином.
биномни коефицијент
Биномни коефицијент није ништа друго до комбинација која се може израчунати помоћу формуле:
Међутим, да бисмо олакшали израчунавање Њутновог бинома, неопходно је користити Паскалов троугао, јер нам брже даје резултат комбинације.
Пример:
Да бисмо пронашли резултат биномног коефицијента, пронађимо вредности 5. реда Паскаловог троугла који су {1,5,10,10,5,1}.
(к + и)5= 1к5+ 5к4и + 10к3г.2+ 10к2г.3 + 5ки4+ 1 год5
Једноставно речено:
(к + и)5= к5+ 5к4и + 10к3г.2+ 10к2г.3 + 5ки4+ и5
решене вежбе
Питање 1 - Вредност доњег израза је?
А) 8
Б) 16
Ц) 2
Д) 32
Е) 24
Резолуција
Алтернатива А.
Прегруписањем позитивних и негативних вредности морамо:
Имајте на уму да заправо израчунавамо одузимање између линије 4 и линије 3 Пасцаловог троугла. По својству знамо да:
с4 = 24 = 16
с3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Питање 2 - Која је вредност израза испод?
А) 32
Б) 28
В) 256
Д) 24
Е) 54
Резолуција
Алтернатива Б.
Имајте на уму да додајемо изразе из колоне 1 Паскаловог троугла у ред 7, а затим у 3 својство, вредност овог збира једнака је члану који заузима ред 7 + 1 и колону 1 + 1, односно ред 8, колона 2. Будући да желимо само једну вредност, конструисање читавог Паскаловог троугла није згодно.
Аутор Раул Родригуес де Оливеира
Наставник математике
