Кеплерови закони: Увод и решене вежбе

Кеплерови закони о кретању планета развили су између 1609. и 1619. године немачки астроном и математичар Јоханнес Кеплер. Кеплерова три закона, коришћена за описивање орбите планета Сунчев систем, изграђене су на основу прецизних астрономских мерења, добијених од данског астронома. Тицхо Брахе.

Увод у Кеплерове законе

Прилози које је оставио Никола Коперник на подручју астрономија раскинуо са визијом геоцентрист свемира, изведено из планетарног модела Цлаудио Птолеми. Модел који је предложио Коперник, иако сложен, дозвољавао је предвиђање и објашњење орбита неколико планета, међутим, имао је неке недостатке, од којих је најдраматичнији задовољавајуће објашњење за ретроградну орбиту Марса током одређених периода године.

Погледајте такође:историја астрономије

Решење необјашњивих проблема помоћу Коперниковог планетарног модела дошло је тек у 17. веку, рукама Јоханнес Кеплер. У том циљу, Кеплер је признао да планетарне орбите нису биле савршено кружне, већ елиптична. Поседујући изузетно тачне астрономске податке које је извео Брахе, Кеплер је успоставио два закона која регулишу кретање планета, Десет година касније, објавио је трећи закон који омогућава процену периода орбите или чак радијуса орбите планета које се окрећу око од

Сунце.

Кроз Кеплерове законе могуће је одредити облик планетарних орбита

Кеплерови закони

Кеплерови закони кретања планета познати су као: закон елиптичних орбита,закон подручја и закон раздобља. Заједно ови објашњавају како функционише кретање било ког тела које кружи око масивне звезде, као нпр планете или Звездице. Проверимо шта је наведено у Кеплеровим законима:

1. закон Кеплера: закон орбита

ТХЕ Кеплеров први закон наводи да орбита планета која се окреће око Сунца није кружна већ елиптична. Даље, Сунце увек заузима један од жаришта ове елипсе. Иако су елиптичне, неке орбите попут Земљине јесу врло близу круга, пошто су елипсе које имају а ексцентричностмногомало. Ексцентричност је пак мера која показује колико се геометријска фигура разликује од а круг а може се израчунати односом између полуосовине елипсе.

„Орбита планета је елипса у којој Сунце заузима један од жаришта.“

Слика (која није у скали) показује да је Земљина орбита елиптична и да је Сунце у једном од жаришта.

Кеплеров 2. закон: закон подручја

Кеплеров други закон каже да замишљена линија која повезује Сунце са планетама које га окружују прелази у једнаким временским интервалима. Другим речима, овај закон наводи да брзина којом се премештају подручја је иста, односно хало-брзина орбита је константна.

„Замишљена линија која повезује Сунце са планетама које га окружују прелази преко једнаких подручја у једнаким временским интервалима.

Према закону подручја, за исти временски интервал, подручја А.₁ и₂ они су исти.

Кеплеров трећи закон: закон раздобља или закон хармоније

Трећи Кеплеров закон каже да је квадрат орбиталног периода планете (Т²) директно пропорционалан коцки његове просечне удаљености од Сунца (Р³). Даље, однос између Т² и Р³ има потпуно једнаку величину за све звезде које круже око ове звезде.

„Однос између квадрата периода и коцке просечног радијуса орбите планете је константан.

Израз који се користи за израчунавање Кеплеровог трећег закона приказан је испод, погледајте га:

Т. - орбитални период

Р. - просечни радијус орбите

Погледајте следећу фигуру, на њој приказујемо главну и споредну осу планетарне орбите око Сунца:

Просечни радијус орбите, коришћен у прорачуну Кеплеровог трећег закона, дат је просеком између максималног и минималног радијуса. Положаји приказани на слици, који карактеришу највећу и најкраћу удаљеност Земље од Сунца, називају се афелијом, односно перихелијом.

Просечни радијус се израчунава просеком радијуса перихела и афела.

Када се Земља приближи перихел, твој орбитална брзина повећава се од гравитационо убрзање Сунца се појачава. На овај начин Земља има максимум кинетичке енергије када је у близини перихел. Приближавајући се афелију, он губи кинетичку енергију, чиме се његова орбитална брзина смањује на најмању меру.

Знате више: Гравитационо убрзање - формуле и вежбе

Детаљнија формула Кеплеровог трећег закона приказана је у наставку. Имајте на уму да однос између Т² и Р³ одређују искључиво две константе, број пи и константа универзалне гравитације, а такође и тестенина од сунца:

Г. - константа универзалне гравитације (6.67.10^-11 Н.м² / кг²)

М. - маса Сунца (1.989,10³⁰ кг)

Овај закон није добио Кеплер, већ Исак Њутн, кроз закон универзалне гравитације. Урадити то, Невтон утврдио да је гравитациона сила привлачења између Земље и Сунца а центрипетална сила. Посматрајте следећи прорачун, он показује како је могуће добити, на основу закона универзалне гравитације, општи израз Кеплеровог трећег закона:

На основу центрипеталне силе и закона гравитације могуће је добити Кеплеров трећи закон.

Такође знајте:Шта је центрипетално убрзање?

Погледајте следећу табелу, у којој ћемо показати како се мере Т2 и Р³ разликују, поред њиховог односа, за сваку од планета у Сунчевом систему:

Планета	Средњи радијус орбите (Р) у АУ	Период у земаљским годинама (Т)	Т² / Р³
Меркур	0,387	0,241	1,002
Венера	0,723	0,615	1,001
земља	1,00	1,00	1,000
Марс	1,524	1,881	1,000
Јупитер	5,203	11,860	0,999
Сатурн	9,539	29,460	1,000
Уран	19,190	84,010	0,999
Нептун	30,060	164,800	1,000

Просечни радијус орбита у табели се мери у астрономске јединице (у). Астрономска јединица одговара удаљеностпросек између Земље и Сунца, око 1.496,10¹¹ м. Поред тога, мале варијације у односима Т2 и Р³ настају због ограничења прецизности у мерењима радијуса орбите и периода превод сваке планете.

Гледајтакође: Примене центрипеталне силе - кичме и удубљења

Вежбе на Кеплеровим законима

Питање 1) (Ита 2019) Свемирска станица Кеплер проучава егзопланету чији природни сателит има елиптичну орбиту полумајора₀ и период Т.₀, где је д = 32а₀ удаљеност између станице и егзопланете. Предмет који се одвоји од Кеплера гравитационо привлачи егзопланету и покреће слободно падање од мировања у односу на њу. Занемарујући ротацију егзопланете, гравитациону интеракцију између сателита и објекта, као и димензије свих укључених тела, израчунајте у функцији Т₀ време пада предмета.

Повратна информација: т = 32Т₀

Резолуција:

Ако узмемо у обзир да је ексцентричност елиптичне путање коју ће објекат описати приближно једнака 1, можемо претпоставити да ће радијус орбите објекта бити једнак половини удаљености између свемирске станице Кеплер и Планета. На тај начин израчунаћемо колико дуго би објекат требало да се приближи планети из свог почетног положаја. За то морамо пронаћи период орбите, а време пада, заузврат, биће једнако половини тог времена:

Након што смо применили Кеплеров трећи закон, резултат делимо са 2, од онога што израчунавамо био је то орбитални период, у којем, у пола времена, објекат пада према планети, ау другој половини, одмиче се. Дакле, време пада, у смислу Т.₀, то је исто као 32Т₀.

Питање 2) (Удесц 2018) Анализирајте одредбе у вези са Кеплеровим законима о кретању планета.

И. Брзина планете је највећа у перихелију.

ИИ. Планете се крећу кружним орбитама, а Сунце је у центру орбите.

ИИИ. Орбитални период планете се повећава са просечним радијусом њене орбите.

ИВ Планете се крећу елиптичним орбитама, а Сунце је у једном од жаришта.

В. Брзина планете је већа у афелу.

означите алтернативу тачно.

а) Истините су само изјаве И, ИИ и ИИИ.

б) Истините су само изјаве ИИ, ИИИ и В.

в) Истините су само изјаве И, ИИИ и ИВ.

д) Истините су само изјаве ИИИ, ИВ и В.

е) Истините су само изјаве И, ИИИ и В.

Повратна информација: Слово Ц.

Резолуција:

Погледајмо алтернативе:

Ја - ПРАВИ. Када се планета приближи перихелију, њена транслациона брзина се повећава, услед повећања кинетичке енергије.

ИИ - ФАЛСЕ. Орбите планета су елиптичне, а Сунце заузима један од њихових жаришта.

ИИИ - ПРАВИ. Орбитални период је пропорционалан радијусу орбите.

ИВ - ПРАВИ. Ову тврдњу потврђује изјава првог Кеплеровог закона.

В - ФАЛСЕ. Брзина планете је највећа близу перихелија.

Питање 3) (Пхев) Многе теорије о Сунчевом систему следиле су, све док у 16. веку Пољак Никола Коперник није представио револуционарну верзију. За Коперника је Сунце, а не Земља, било центар Система. Тренутно је прихваћен модел Сунчевог система у основи Коперников, са корекцијама које су предложили Немац Јоханнес Кеплер и следећи научници.

О гравитацији и Кеплеровим законима, узмите у обзир следеће изјаве, истинито (Хоћу лажан (Ф).

И. Усвајајући Сунце за референцу, све планете се крећу елиптичним орбитама, са Сунцем као једним од фокуса елипсе.

ИИ. Вектор положаја центра масе планете у Сунчевом систему, у односу на центар масе планете Сунце брише једнаке површине у једнаким временским интервалима, без обзира на положај планете у вама орбита.

ИИИ. Вектор положаја центра масе планете у Сунчевом систему, у односу на центар масе Сунца, помера пропорционалне површине у једнаким временским интервалима, без обзира на положај планете у њој орбита.

ИВ За било коју планету у Сунчевом систему количник коцке просечног полупречника орбите и квадрата периода револуције око Сунца је константан.

означите алтернативу ТАЧНО.

а) Све изјаве су тачне.

б) Истините су само изјаве И, ИИ и ИИИ.

в) Истините су само изјаве И, ИИ и ИВ.

г) Истините су само изјаве ИИ, ИИИ и ИВ.

е) Истините су само изјаве И и ИИ.

Шаблон: Слово Ц.

Резолуција:

И. ИСТИНИТО. Изјава је сама изјава првог Кеплеровог закона.

ИИ. ИСТИНИТО. Изјава се поклапа са дефиницијом другог Кеплеровог закона.

ИИИ. ФАЛСЕ. Одређивање Кеплеровог другог закона, које произилази из принципа очувања момента кретања, подразумева да су пометене површине једнаке у једнаким временским интервалима.

ИВ ИСТИНИТО. Изјава репродукује Кеплерову трећу законску изјаву, познату и као закон периода.

Ја Рафаел Хелерброцк