Д'Алембертова теорема

Д'Алембертова теорема је непосредна последица остатка теореме која се бави поделом полинома биномом типа к - а. Теорема остатка каже да ће полином Г (к) подељен са биномом к - а имати остатак Р једнак П (а), за
к = а. Француски математичар Д'Алемберт доказао је, узимајући у обзир горе цитирану теорему, да је полином било који К (к) биће дељив са к - а, то јест, остатак дељења биће једнак нули (Р = 0) ако је П (а) = 0.
Ова теорема је олакшала израчунавање поделе полинома са биномом (к –а), па није потребно решавати целу поделу да бисмо знали да ли је остатак једнак нули или различит од ње.
Пример 1
Израчунај остатак од дељења (к² + 3к - 10): (к - 3).
Као што Д'Алембертова теорема каже, остатак (Р) ове поделе биће једнак:
П (3) = Р.
3² + 3 * 3 - 10 = Р.
9 + 9 - 10 = Р.
18 - 10 = Р.
Р = 8
Тако ће остатак ове дивизије бити 8.
Пример 2
Проверите да ли је к⁵ - 2к⁴ + к³ + к - 2 је дељиво са к - 1.
Према Д’Алемберту, полином је дељив биномом ако је П (а) = 0.
П (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
П (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2

П (1) = 3 - 4
П (1) = - 1
С обзиром да П (1) није нула, полином неће бити дељив са биномом к - 1.
Пример 3
Израчунај вредност м тако да је остатак дељења полинома
П (к) = к⁴ - мк³ + 5к² + к - 3 са к - 2 је 6.
Имамо то, Р = П (к) → Р = П (2) → П (2) = 6
П (2) = 2⁴ - м * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - м * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8м + 20 + 2 - 3 = 6
- 8м = 6 - 38 + 3
- 8м = 9 - 38
- 8м = - 29
м = 29/8
Пример 4
Израчунај остатак од дељења 3к полинома³ + к² - 6к + 7 пута 2к + 1.
Р = П (к) → Р = П (- 1/2)
Р = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
Р = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
Р = –3/8 + 1/4 + 10 (ммц)
Р = –3/8 + 2/8 + 80/8
Р = 79/8

аутор Марк Ноах
Дипломирао математику
Бразилски школски тим

Полиноми - Математика - Бразил Сцхоол

Извор: Бразил Сцхоол - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm