Ti iracionalna števila dolgo časa povzročalo veliko zaskrbljenost matematikov. Danes, že dobro definirano, kot iracionalno številko poznamo tistega, čigar decimalna predstavitev je vedno neperiodična decimalna številka. Glavna značilnost iracionalizma in zaradi česar se razlikujejo od racionalnih številk je, da se ni mogoče predstaviti z ulomek.
Študija iracionalnih števil se je poglobila, ko so pri izračunu problemov, ki vključujejo Pitagorin izrek, našli nenatančne korenine. Zaradi iskanja rešitve za te netočne korenine je bil obstoj nenatančne desetine izjemen periodična, to je števil, katerih decimalni del je neskončen in nima dobrega zaporedja. opredeljeno. Glavna iracionalna števila so neperiodične decimalke, nenatančne korenine in π.
Preberite tudi: Kvadratni koren - primer ukoreninjenja, pri katerem je radikalni indeks 2
Niz iracionalnih števil
Pred preučevanjem iracionalnih števil so preučevali množice števil naravno, cela števila in utemeljitve. Ko smo se poglobili v preučevanje pravokotnega trikotnika, je postalo jasno, da
obstaja nekaj korenin, ki nimajo natančne rešitve., zlasti je bilo mogoče videti, da so nenatančne korenske rešitve številke znane kot neperiodične desetine.Sredi te zaskrbljenosti so številni matematiki neuspešno poskusili dokazati, da so netočne korenine racionalna števila in ki je lahko predstavljen kot ulomek, vendar je bilo ugotovljeno, da teh števil v tem ni mogoče predstaviti oblika. Ker do zdaj množica racionalnih števil ni vključevala teh števil, se je pojavila potreba po ustvarjanju novega niza, znanega kot niz iracionalnih števil.
Število je iracionalno, če je njegova decimalna predstavitev neperiodična decimalna številka. |
Kaj so iracionalna števila?
Da bi bilo iracionalno število, mora izpolnjevati definicijo, to je njegova decimalna predstavitev je neperiodična decimalka. Glavna značilnost neperiodičnih decimalk je, da jih ni mogoče predstaviti z ulomkom, kar kaže, da so iracionalna števila nasprotna racionalnim številom.
Glavne številke s to funkcijo so korenine niso natančne.
Primeri:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Ko iščemo nenatančne korenske rešitve, to je vedno izvajanje decimalnega prikaza teh števil našli bomo neperiodično decimalno mesto, zaradi česar so ta števila elementi nabora iracionalno.
Poleg nenatančnih korenin obstajajo tudi same neperiodične decimalne številke, če na primer izračunamo nenatančne korenine, bomo našli neperiodično decimalno mesto.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Iracionalne številke so običajno predstavljene z grškimi črkami, ker ni mogoče zapisati vseh njegovih decimalnih mest.
Prvi je π (beri: pi), prisoten pri izračunu površine in oboda krogov. Ima vrednost, enako 3,1415926535…
Poleg π je še ena zelo pogosta številka ϕ (beri: fi). Najdemo ga v težavah z delež zlato. Vrednost je enaka 1,618033 ...
Glej tudi: Kaj so praštevila?
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
racionalno in iracionalno število
Pri analizi naborov števil pomembno je razlikovati med racionalnimi števili in iracionalnimi števili. Združitev teh dveh množic tvori enega izmed najbolj preučenih matematičnih sklopov, množico realov, to je množico realna števila to je združevanje števil, ki jih lahko predstavimo kot ulomke (racionalno) s števili, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomke (iracionalno).
V kompletu racionalna števila, obstajajo cela števila, naravna, natančna decimalna mesta in periodične decimalne številke.
Primeri racionalnih števil:
-60 → celo število
2.5 → natančna decimalna številka
5.1111111… → periodična decimalna številka
Iracionalna števila so neperiodična decimalna mesta, zato ni nobenega števila, ki bi bilo racionalno in neracionalno hkrati.
Primer iracionalnih števil:
1,123149… → neperiodična desetina
2.769235… → neperiodična desetina
Operacije z iracionalnimi številkami
seštevanje in odštevanje
THE dodatek in odštevanje dveh iracionalnih števil je običajno pravkar zastopana, razen če se uporablja decimalni približek teh števil, na primer:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Vrednosti ne moremo seštevati ali odštevati zaradi radikalov, zato smo pravkar pustili navedeno operacijo.
V decimalnih predstavitvah tudi ni mogoče izvesti natančne vsote, zato če želimo dodati dve iracionalni številki, potrebujemo racionalen približek., in ta prikaz je izbran glede na potrebo po natančnosti teh podatkov. Več decimalnih mest upoštevamo, bližje natančni vsoti dobimo.
Opazovanje:množica iracionalnih števil ni zaprta za seštevanje ali odštevanje, to pomeni, da lahko vsota dveh iracionalnih števil povzroči številko, ki ni racionalna. Če na primer izračunamo razliko iracionalnega števila s svojim nasprotjem, moramo:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Vemo, da 0 ni iracionalno število.
Množenje in deljenje
Množenje in delitev iracionalnih števil lahko izvedemo, če je predstavitev a radikacijovendar pa je tako kot seštevanje tudi v decimalni predstavitvi, to je množenje ali deljenje dveh decimalnih mest, potrebno racionalno približevanje tega števila.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Upoštevajte tudi, da je v primeru b 4 racionalno število, kar pomeni, da množenje in deljenje dveh iracionalnih števil ni zaprto, to pomeni, da ima lahko racionalen rezultat.
rešene vaje
Vprašanje 1 - Preglejte naslednje številke:
I) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
To so iracionalne številke:
A) Samo I, IV in V
B) Samo II, III in VI
C) Samo II, IV in VI
D) Samo I, II, III in VI
E) Samo III, IV, V in VI
Resolucija
Alternativa B
I → število je natančno decimalno, racionalno.
II → število je neperiodično, iracionalno decimalno mesto.
III → π je iracionalen, njegov dvojnik, to je 2π, pa je tudi nerazumen.
IV → število je periodično, racionalno decimalno mesto.
V → natančen, racionalen koren.
VI → koren ni natančen, iracionalen.
Vprašanje 2 - Prosimo, presodite naslednje trditve:
I - Množica realnih števil je zveza racionalnega in iracionalnega;
II - Vsota dveh iracionalnih števil je lahko racionalno število;
III - Desetine so iracionalne številke.
Z analizo izjav lahko rečemo, da:
A) Edina trditev I je resnična.
B) Resnična je le trditev II.
C) Resnična je le trditev III.
D) Resnične so le trditve I in II.
E) Vse trditve so resnične.
Resolucija
Alternativa D
I → Res, ker je definicija množice realnih števil zveza med racionalnim in iracionalnim.
II → Res je, ko dodamo številko nasprotju od nje, bomo imeli kot rezultat številko 0, ki je racionalna.
III → Napačne, neperiodične desetine so iracionalne.
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
